Simulado Interativo — Alinhamento de Três Pontos - Geometria Analítica — exercícios resolvidos com correção automática

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Simulado Interativo — Alinhamento de Três Pontos

Geometria Analítica — exercícios resolvidos com correção automática.

Condição de alinhamento:
Três pontos estão alinhados quando pertencem à mesma reta. Uma forma prática é comparar as inclinações:

mAB = (yB - yA) / (xB - xA)
mAC = (yC - yA) / (xC - xA)

Se mAB = mAC, os pontos são colineares.

Pontuação: 0 de 10

1. Os pontos A(0,2), B(-3,1) e C(4,5) estão alinhados?

Resposta correta: C. mAB = 1/3 e mAC = 3/4. Como são diferentes, os pontos não estão alinhados.

2. Os pontos A(2,4), B(3,7) e C(5,13) são colineares?

Resposta correta: A. mAB = 3 e mAC = 3. Portanto, os pontos estão alinhados.

3. Os pontos A(3,8), B(3,4) e C(3,-1) estão alinhados?

Resposta correta: B. Todos possuem x = 3, logo pertencem à mesma reta vertical.

4. Para que A(3,5), B(1,3) e C(x,1) sejam vértices de um triângulo, devemos ter:

Resposta correta: B. Se x = -1, os três pontos ficam alinhados. Para formar triângulo, não podem estar alinhados.

5. Os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(a,b) são colineares. Se C está sobre o eixo x, então:

Resposta correta: B. Como C está no eixo x, b = 0. A reta que passa por A e B cruza o eixo x em x = 7.

6. Os pontos A(1,2), B(3,6) e C(5,10) estão alinhados?

Resposta correta: A. Todos os pontos satisfazem y = 2x, portanto são colineares.

7. Determine k para que A(2,1), B(4,5) e C(k,9) estejam alinhados.

Resposta correta: B. A reta que passa por A e B tem inclinação 2. Para y = 9, temos k = 6.

8. Os pontos A(0,0), B(2,3) e C(4,5) são colineares?

Resposta correta: C. As inclinações são diferentes, então os pontos não estão alinhados.

9. Os pontos A(2,3), B(4,7) e C(6,11) pertencem à mesma reta. Qual é a inclinação dessa reta?

Resposta correta: B. mAB = (7 - 3) / (4 - 2) = 4/2 = 2.

10. Para que A(1,4), B(3,8) e C(5,p) estejam alinhados, o valor de p deve ser:

Resposta correta: C. A inclinação entre A e B é 2. Seguindo a mesma reta, quando x aumenta de 3 para 5, y aumenta 4. Logo, p = 12.

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Exercício - Corda e Circunferência

Exercício:

1. O valor de \( k \) que transforma a equação \( x^2 + y^2 - 8x + 10y + k = 0 \) na equação de uma circunferência de raio 7 é:

Resolução:

1. Para transformar a equação em uma circunferência de raio 7, devemos completar o quadrado para o termo \( x^2 - 8x \) e \( y^2 + 10y \).

Para o termo \( x^2 - 8x \), adicionamos e subtraímos \((8/2)^2 = 16\) dentro do parênteses:

\( x^2 - 8x + 16 - 16 \)

\( (x - 4)^2 - 16 \)

Para o termo \( y^2 + 10y \), adicionamos e subtraímos \((10/2)^2 = 25\) dentro do parênteses:

\( y^2 + 10y + 25 - 25 \)

\( (y + 5)^2 - 25 \)

A equação após completar o quadrado fica:

\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 - 16 - 25 + k = 0 \)

\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 + k - 41 = 0 \)

Agora, comparando com a equação da circunferência padrão \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), podemos ver que \( a = 4 \), \( b = -5 \) e \( r^2 = 7^2 = 49 \).

Portanto, o valor de \( k \) que transforma a equação em uma circunferência de raio 7 é:

\( k = r^2 - (a^2 + b^2) = 49 - (4^2 + (-5)^2) = 49 - (16 + 25) = 49 - 41 = 8 \).

Assim, a resposta correta é a alternativa:

b) -8

Exercício:

2. Determine o comprimento da corda determinada pela reta de equação \(y = x - 2\) e a circunferência de equação geral \(x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0\).

Resolução:

Primeiro, encontramos os pontos de interseção entre a reta e a circunferência resolvendo o sistema entre as duas equações:

\( \begin{cases} y = x - 2 \\ x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0 \end{cases} \)

Substituindo o valor de \(y\) da primeira equação na segunda, temos:

\(x^2 + (x - 2)^2 - 6x - 4(x - 2) + 9 = 0\).

\(x^2 + x^2 - 4x + 4 - 6x - 4x + 8 + 9 = 0\).

\(2x^2 - 14x + 21 = 0\).

Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos:

\(x = \frac{{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21}}}{2 \cdot 2}\).

\(x = \frac{{14 \pm \sqrt{196 - 168}}}{4}\).

\(x = \frac{{14 \pm \sqrt{28}}}{4}\).

\(x = \frac{{14 \pm 2\sqrt{7}}}{4}\).

\(x = \frac{{7 \pm \sqrt{7}}}{2}\).

Portanto, os pontos de interseção são \(P_1\left(\frac{{7 + \sqrt{7}}}{2}, \frac{{5 + \sqrt{7}}}{2}\right)\) e \(P_2\left(\frac{{7 - \sqrt{7}}}{2}, \frac{{5 - \sqrt{7}}}{2}\right)\).

Agora, podemos calcular o comprimento da corda \(c\) utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

\(c = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

\(c = \sqrt{\left(\frac{{7 - \sqrt{7}}}{2} - \frac{{7 + \sqrt{7}}}{2}\right)^2 + \left(\frac{{5 - \sqrt{7}}}{2} - \frac{{5 + \sqrt{7}}}{2}\right)^2}\).

\(c = \sqrt{\left(-\sqrt{7}\right)^2 + \left(-\sqrt{7}\right)^2}\).

\(c = \sqrt{7 + 7}\).

\(c = \sqrt{14}\).

Portanto, o comprimento da corda entre a reta e a circunferência é \(c = \sqrt{14}\) unidades.

Tutorial - Comprimento da Corda em uma Circunferência

Para calcular o comprimento da corda determinada por uma reta em uma circunferência, siga os passos abaixo:

Passo 1: Encontrar os pontos de interseção

O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção entre a reta e a circunferência. Para isso, resolva o sistema entre as duas equações.

Exemplo de reta: \( ax + by + c = 0 \)

Exemplo de circunferência: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)

Passo 2: Substituir os pontos de interseção

Após encontrar os pontos de interseção \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \), substitua esses valores na fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

\( \text{Comprimento da Corda} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Passo 3: Calcular o comprimento

Finalmente, substitua os valores dos pontos de interseção na fórmula e calcule o comprimento da corda.

Exemplo:

Determine o comprimento da corda determinada pela reta \(3x + 4y - 25 = 0\) na circunferência \(x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0\).

Primeiro, encontre os pontos de interseção \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) resolvendo o sistema entre as duas equações. Em seguida, substitua esses valores na fórmula do comprimento da corda para encontrar a resposta.

Resolução:

Exercícios resolvidos - Posição relativa entre duas retas - Geometria Analítica

Exercícios resolvidos - Posição relativa entre duas retas

01) Qual é a posição da reta r, de equação 15x + 10y - 3 = 0, em relação à reta s, de equação 9x + 6y - 1 = 0?

Solução: primeiro isole "y" para saber o coeficiente angular.

02) Qual é a posição da reta r, de equação 6x + 4y - 3 = 0, em relação a reta s, de equação 9x + 6y - 1 = 0?

03) Para que valores de “a” as retas p: 2x + (a – 2)y – 5 = 0 e q: 4x + ay – 1 = 0, respectivamente, são concorrentes?

04) Para que valores de “a” as retas de equações (a + 3)x + 4 y – 5 = 0  e x + ay + 1 = 0 são paralelas?

05) As retas r e s, de equações px + 8y +1 = 0 e 2x + py – 1 = 0, respectivamente, são paralelas. Nestas condições, calcule o valor de p.

Exercícios resolvidos - Posição relativa entre duas retas - Geometria Analítica

Exercícios resolvidos sobre comprimento de corda - Circunferência - Geometria Analítica

PARA MAIS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE COMPRIMENTO DE CORDA CLIQUE AQUI.

01) Determine o comprimento da corda determinada pela reta de equação x + y - 1 = 0 na circunferência de equação     x² + y² + 2x + 2y - 3 = 0. 

02) Calcule o comprimento da corda determinada pela intersecção entre a reta x – y – 1 = 0 e a circunferência de equação x² + y² – 2x + 2y -3 = 0.

Equação da Reta - Dado um ponto e o coeficiente angular - Exercícios resolvidos

Equação da Reta - Dado um ponto e o coeficiente angular - Exercícios resolvidos 

01) Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto B(3, -12) e tem coeficiente angular -1.

02) Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto A(4, 3) e apresenta coeficiente angular m = -3.

03) Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto A(5, -3) e tem coeficiente angular -6.

04) Sabendo que uma reta passa pelo ponto P(2,5) e tem coeficiente angular m = -2 determine a equação reduzida dessa reta.

05) Determine a equação da reta na forma geral que passa por A (2,-8) e tem coeficiente angular m=1/2.

06) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(2,-3) e tem coeficiente angular 4.

07) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto A(-2, -1) e tem coeficiente angular 2.

08) Determine a equação da reta que passa por (1,5) e tem coeficiente angular = 20.  

09) Determine a equação da reta que passa pelo  ponto A(-1,4) e tem coeficiente angular 2.

10) Determine a equação geral da reta “r” que tem coeficiente angular igual a 3/2 e passa pelo ponto médio de BC sendo B(-3,-9) e C(-4,2).

11) Determine a equação da reta que passa pelo ponto  M(2,– 5) e tem coeficiente angular 0.

Geometria Analítica - Índice

Geometria Analítica - Exercícios resolvidos - Índice

1) Exercícios resolvidos - distância entre dois pontos

2) Geometria Analítica - distância entre dois pontos - PARTE II - exercícios resolvidos

3) Exercícios resolvidos - Pontos Equidistantes - Geometria Analítica

4) Exercícios resolvidos - Ponto Médio

5) Exercícios resolvidos - Baricentro

6) Exercícios resolvidos sobre Condição de Alinhamento entre três Pontos 

7) Exercícios resolvidos - Área de um Triângulo

8) Exercícios resolvidos - Equação Geral da Reta

9) Exercícios resolvidos - Equação Geral da Reta - dados dois pontos da reta

10) Exercícios Resolvidos - Equação Geral da Reta, Equação Reduzida da Reta, Equação Segmentária da Reta

11) Exercícios Resolvidos - Equação Segmentária da Reta

12) Ângulo formado entre duas retas - Exercícios Resolvidos

13) Exercícios Resolvidos sobre Retas Paralelas e Retas Perpendiculares

14) Exercícios resolvidos - centro e raio da circunferência - equação reduzida -Geometria Analítica

15) Exercícios resolvidos - centro e raio da circunferência - equação geral - Geometria Analítica

16) Exercícios resolvidos sobre equação da circunferência/equação reduzida/equação geral da circunferência

17) Exercícios Resolvidos - Posições Relativas entre Ponto e Circunferência no Plano

18) Exercícios Resolvidos - Comprimento de Corda 

Exercícios resolvidos sobre equação reduzida e geral da circunferência - Geometria Analítica

Exercícios resolvidos sobre equação da circunferência/equação reduzida/equação geral da circunferência

PARA MAIS EXERCÍCIOS REDUZIDOS SOBRE EQUAÇÃO GERAL E REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA CLIQUE AQUI!

01) Determine a equação reduzida e a equação geral da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1,1).

02) Determine a equação reduzida e a equação geral da circunferência com centro no ponto centro C(0, -2) e raio r = 4.

03) Determine a equação reduzida e a equação geral da circunferência com centro no ponto centro C(-3,6) e diâmetro 8.

04) Determinar a equação reduzida da circunferência que passa pela origem e tem centro em (4, -3).

 05) Determine o valor de “m” para que a equação x² + 4x + y²  - 6y = m² - 29 represente uma circunferência.

06) Determine o valor de “m” para que a equação x² + y² - 2x  + 6y + m = 0  represente uma circunferência.

07)  Calcule o valor de k de modo que a equação x² + y² - 2x + 10y + 6k = 0 represente uma circunferência. 

08) Determine a condição para que a equação x² + y² + 6x + 4y + 17 - m² = 0 represente uma circunferência.

Geometria Analítica - distância entre dois pontos - PARTE II - exercícios resolvidos

01) Mostre que o triângulo ABC com vértices A(5, 8), B(2, 2) e C(8, 2) é isósceles.

02) Prove que é isósceles e que não é retângulo o triângulo cujos vértices são os pontos A (2, 5), B(-1, 2) e  C (5, 8).

03) Dados A(4, -2), B(2, 3) e C(6, 6), verifique o tipo do triângulo ABC quanto aos lados.

04) Dados A(m,-1), B(2, 3) e C(-1,-1), determine “m” de modo que B seja equidistante de A e C.

Ensino Médio - 3º ANO

*** GEOMETRIA ANALÍTICA - EXERCÍCIOS 

*-* Porcentagem

*-* Exercícios resolvidos sobre Juros Simples - parte 2

*-* Exercícios resolvidos sobre Juros Compostos

*-* Exercícios resolvidos sobre Juros Compostos com Logaritmos
*-* Exercícios resolvidos sobre Vendas com Lucro sobre o Preço de Custo
*-* Exercícios resolvidos sobre áreas de figuras planas: circunferência, coroa circular, figuras inscritas numa circunferência
*-* Exercícios resolvidos sobre poliedros (fórmula de Euler)
*-* Exercícios resolvidos sobre poliedros - fórmula de Euler - parte II
*-* Exercícios resolvidos sobre áreas e volumes de prismas
*-* Exercícios resolvidos sobre Prismas Triangulares
*-* Exercícios resolvidos sobre Prisma Quadrangular
*-* Exercícios resolvidos sobre Prisma Hexagonal
*-*Exercícios resolvidos sobre Pirâmides - áreas e volume
*-* Exercícios resolvidos sobre Tronco de Pirâmides
*-* Exercícios resolvidos sobre Cilindros
*-* Exercícios resolvidos sobre Cones
*-* Exercícios resolvidos sobre Tronco de Cones
*-* Exercícios resolvidos sobre Superficie Esférica e Volume de Esferas
*-* Exercícios resolvidos de Geometria Espacial - Áreas e Volume de Cubos, Cilindros, Cones e Esferas