Exercício - Corda e Circunferência

Exercício:

1. O valor de \( k \) que transforma a equação \( x^2 + y^2 - 8x + 10y + k = 0 \) na equação de uma circunferência de raio 7 é:

Resolução:

1. Para transformar a equação em uma circunferência de raio 7, devemos completar o quadrado para o termo \( x^2 - 8x \) e \( y^2 + 10y \).

Para o termo \( x^2 - 8x \), adicionamos e subtraímos \((8/2)^2 = 16\) dentro do parênteses:

\( x^2 - 8x + 16 - 16 \)

\( (x - 4)^2 - 16 \)

Para o termo \( y^2 + 10y \), adicionamos e subtraímos \((10/2)^2 = 25\) dentro do parênteses:

\( y^2 + 10y + 25 - 25 \)

\( (y + 5)^2 - 25 \)

A equação após completar o quadrado fica:

\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 - 16 - 25 + k = 0 \)

\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 + k - 41 = 0 \)

Agora, comparando com a equação da circunferência padrão \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \), podemos ver que \( a = 4 \), \( b = -5 \) e \( r^2 = 7^2 = 49 \).

Portanto, o valor de \( k \) que transforma a equação em uma circunferência de raio 7 é:

\( k = r^2 - (a^2 + b^2) = 49 - (4^2 + (-5)^2) = 49 - (16 + 25) = 49 - 41 = 8 \).

Assim, a resposta correta é a alternativa:

b) -8

Exercício:

2. Determine o comprimento da corda determinada pela reta de equação \(y = x - 2\) e a circunferência de equação geral \(x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0\).

Resolução:

Primeiro, encontramos os pontos de interseção entre a reta e a circunferência resolvendo o sistema entre as duas equações:

\( \begin{cases} y = x - 2 \\ x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0 \end{cases} \)

Substituindo o valor de \(y\) da primeira equação na segunda, temos:

\(x^2 + (x - 2)^2 - 6x - 4(x - 2) + 9 = 0\).

\(x^2 + x^2 - 4x + 4 - 6x - 4x + 8 + 9 = 0\).

\(2x^2 - 14x + 21 = 0\).

Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos:

\(x = \frac{{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21}}}{2 \cdot 2}\).

\(x = \frac{{14 \pm \sqrt{196 - 168}}}{4}\).

\(x = \frac{{14 \pm \sqrt{28}}}{4}\).

\(x = \frac{{14 \pm 2\sqrt{7}}}{4}\).

\(x = \frac{{7 \pm \sqrt{7}}}{2}\).

Portanto, os pontos de interseção são \(P_1\left(\frac{{7 + \sqrt{7}}}{2}, \frac{{5 + \sqrt{7}}}{2}\right)\) e \(P_2\left(\frac{{7 - \sqrt{7}}}{2}, \frac{{5 - \sqrt{7}}}{2}\right)\).

Agora, podemos calcular o comprimento da corda \(c\) utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

\(c = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

\(c = \sqrt{\left(\frac{{7 - \sqrt{7}}}{2} - \frac{{7 + \sqrt{7}}}{2}\right)^2 + \left(\frac{{5 - \sqrt{7}}}{2} - \frac{{5 + \sqrt{7}}}{2}\right)^2}\).

\(c = \sqrt{\left(-\sqrt{7}\right)^2 + \left(-\sqrt{7}\right)^2}\).

\(c = \sqrt{7 + 7}\).

\(c = \sqrt{14}\).

Portanto, o comprimento da corda entre a reta e a circunferência é \(c = \sqrt{14}\) unidades.

Tutorial - Comprimento da Corda em uma Circunferência

Para calcular o comprimento da corda determinada por uma reta em uma circunferência, siga os passos abaixo:

Passo 1: Encontrar os pontos de interseção

O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção entre a reta e a circunferência. Para isso, resolva o sistema entre as duas equações.

Exemplo de reta: \( ax + by + c = 0 \)

Exemplo de circunferência: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)

Passo 2: Substituir os pontos de interseção

Após encontrar os pontos de interseção \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \), substitua esses valores na fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

\( \text{Comprimento da Corda} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Passo 3: Calcular o comprimento

Finalmente, substitua os valores dos pontos de interseção na fórmula e calcule o comprimento da corda.

Exemplo:

Determine o comprimento da corda determinada pela reta \(3x + 4y - 25 = 0\) na circunferência \(x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0\).

Primeiro, encontre os pontos de interseção \( (x_1, y_1) \) e \( (x_2, y_2) \) resolvendo o sistema entre as duas equações. Em seguida, substitua esses valores na fórmula do comprimento da corda para encontrar a resposta.

Resolução: