Exercício - Corda e Circunferência

Exercício:

1. O valor de $k$ que transforma a equação $x^2 + y^2 - 8x + 10y + k = 0$ na equação de uma circunferência de raio 7 é:

Resolução:

1. Para transformar a equação em uma circunferência de raio 7, devemos completar o quadrado para o termo $x^2 - 8x$ e $y^2 + 10y$.

Para o termo $x^2 - 8x$, adicionamos e subtraímos $(8/2)^2 = 16$ dentro do parênteses:

$x^2 - 8x + 16 - 16$

$(x - 4)^2 - 16$

Para o termo $y^2 + 10y$, adicionamos e subtraímos $(10/2)^2 = 25$ dentro do parênteses:

$y^2 + 10y + 25 - 25$

$(y + 5)^2 - 25$

A equação após completar o quadrado fica:

$(x - 4)^2 + (y + 5)^2 - 16 - 25 + k = 0$

$(x - 4)^2 + (y + 5)^2 + k - 41 = 0$

Agora, comparando com a equação da circunferência padrão $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, podemos ver que $a = 4$, $b = -5$ e $r^2 = 7^2 = 49$.

Portanto, o valor de $k$ que transforma a equação em uma circunferência de raio 7 é:

$k = r^2 - (a^2 + b^2) = 49 - (4^2 + (-5)^2) = 49 - (16 + 25) = 49 - 41 = 8$.

Assim, a resposta correta é a alternativa:

b) -8

Exercício:

2. Determine o comprimento da corda determinada pela reta de equação $y = x - 2$ e a circunferência de equação geral $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0$.

Resolução:

Primeiro, encontramos os pontos de interseção entre a reta e a circunferência resolvendo o sistema entre as duas equações:

$\begin{cases} y = x - 2 \\ x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0 \end{cases}$

Substituindo o valor de $y$ da primeira equação na segunda, temos:

$x^2 + (x - 2)^2 - 6x - 4(x - 2) + 9 = 0$.

$x^2 + x^2 - 4x + 4 - 6x - 4x + 8 + 9 = 0$.

$2x^2 - 14x + 21 = 0$.

Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos:

$x = \frac{{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21}}}{2 \cdot 2}$.

$x = \frac{{14 \pm \sqrt{196 - 168}}}{4}$.

$x = \frac{{14 \pm \sqrt{28}}}{4}$.

$x = \frac{{14 \pm 2\sqrt{7}}}{4}$.

$x = \frac{{7 \pm \sqrt{7}}}{2}$.

Portanto, os pontos de interseção são $P_1\left(\frac{{7 + \sqrt{7}}}{2}, \frac{{5 + \sqrt{7}}}{2}\right)$ e $P_2\left(\frac{{7 - \sqrt{7}}}{2}, \frac{{5 - \sqrt{7}}}{2}\right)$.

Agora, podemos calcular o comprimento da corda $c$ utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

$c = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

$c = \sqrt{\left(\frac{{7 - \sqrt{7}}}{2} - \frac{{7 + \sqrt{7}}}{2}\right)^2 + \left(\frac{{5 - \sqrt{7}}}{2} - \frac{{5 + \sqrt{7}}}{2}\right)^2}$.

$c = \sqrt{\left(-\sqrt{7}\right)^2 + \left(-\sqrt{7}\right)^2}$.

$c = \sqrt{7 + 7}$.

$c = \sqrt{14}$.

Portanto, o comprimento da corda entre a reta e a circunferência é $c = \sqrt{14}$ unidades.

Tutorial - Comprimento da Corda em uma Circunferência

Para calcular o comprimento da corda determinada por uma reta em uma circunferência, siga os passos abaixo:

Passo 1: Encontrar os pontos de interseção

O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção entre a reta e a circunferência. Para isso, resolva o sistema entre as duas equações.

Exemplo de reta: $ax + by + c = 0$

Exemplo de circunferência: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Passo 2: Substituir os pontos de interseção

Após encontrar os pontos de interseção $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, substitua esses valores na fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

$\text{Comprimento da Corda} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Passo 3: Calcular o comprimento

Finalmente, substitua os valores dos pontos de interseção na fórmula e calcule o comprimento da corda.

Exemplo:

Determine o comprimento da corda determinada pela reta $3x + 4y - 25 = 0$ na circunferência $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$.

Primeiro, encontre os pontos de interseção $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ resolvendo o sistema entre as duas equações. Em seguida, substitua esses valores na fórmula do comprimento da corda para encontrar a resposta.

Resolução: