Exercício de Limites
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1. Calcule o limite:
\( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) \).
Solução:
Para calcular o limite, substituímos \( x \) por \( 2 \) na expressão dada:
\( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 \).
Simplificando a expressão:
\( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 4 - 6 + 2 \).
Finalmente, encontramos o valor do limite:
\( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 0 \).
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2. Calcule o limite:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} \).
Solução:
Para calcular o limite, utilizamos a propriedade fundamental:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} = 1 \).
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3. Calcule o limite:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x} \).
Solução:
Para calcular o limite, utilizamos a definição de derivada:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x} = \frac{{d}}{{dx}}(e^x) \Big|_{{x=0}} \).
Derivando a função \( e^x \), obtemos:
\( \frac{{d}}{{dx}}(e^x) = e^x \).
Avaliando a derivada em \( x = 0 \), encontramos:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x} = e^0 = 1 \).
Exercício de Limites
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4. Calcule o limite:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} \).
Solução:
Para calcular o limite, utilizamos a regra de L'Hôpital:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(x^2 - 3x + 2)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(2x^2 + 5x - 3)}} \).
Derivando o numerador e o denominador, obtemos:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x - 3}}{{4x + 5}} \).
Avaliando o limite quando \( x \to \infty \), encontramos:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \frac{{2\infty - 3}}{{4\infty + 5}} = \frac{{\infty}}{{\infty}} \).
Aplicando novamente a regra de L'Hôpital:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(2x - 3)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(4x + 5)}} \).
Derivando novamente o numerador e o denominador, obtemos:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2}}{{4}} = \frac{{1}}{{2}} \).
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5. Calcule o limite:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - \cos(x) - 1}}{x^2} \).
Solução:
Para calcular o limite, utilizamos a expansão em série de Taylor:
\( e^x \approx 1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots \) (para \( x \to 0 \)).
Substituindo a expansão em série de Taylor na expressão original:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - \cos(x) - 1}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x) - 1}}{x^2} \).
Simplificando a expressão:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x) - 1}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x)}}{x^2} \).
Aplicando a regra de L'Hôpital para o numerador:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x)}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots + \sin(x)}}{2x} \).
Substituindo \( x = 0 \) na expressão, obtemos:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots + \sin(x)}}{2x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0} \).
Note que a expressão resulta em \( \frac{{1}}{{0}} \), o que é uma indeterminação. Portanto, precisamos aplicar novamente a regra de L'Hôpital:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(1)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(2x)}} \).
Derivando o numerador e o denominador, temos:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{0}}{{2}} = 0 \).
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6. Calcule o limite:
\( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x \).
Solução:
Para calcular o limite, usamos a propriedade:
\( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{1}}{{n}}\right)^n = e \).
Substituindo \( x \) por \( \frac{{x}}{{3}} \) na expressão original:
\( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x = \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{1}}{{\frac{{x}}{{3}}}}\right)^{\frac{{x}}{{3}}} \).
Usando a propriedade mencionada, temos:
\( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x = e \).
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7. Calcule o limite:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} \).
Solução:
Para calcular o limite, utilizamos a definição de derivada:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} = \frac{{d}}{{dx}}(\sin(3x)) \Big|_{{x=0}} \).
Derivando a função \( \sin(3x) \), temos:
\( \frac{{d}}{{dx}}(\sin(3x)) = 3\cos(3x) \).
Avaliando a derivada em \( x = 0 \), encontramos:
\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} = 3\cos(3 \cdot 0) = 3 \).
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8. Calcule o limite:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x + \sqrt{x}}}{{2x - 3}} \).
Solução:
Para calcular o limite, dividimos todos os termos por \( x \):
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x + \sqrt{x}}}{{2x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{x}}{{x}} + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{\frac{{2x}}{{x}} - \frac{{3}}{{x}}}} \).
Simplificando a expressão:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{x}}{{x}} + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{\frac{{2x}}{{x}} - \frac{{3}}{{x}}}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1 + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{2 - \frac{{3}}{{x}}}} \).
Quando \( x \to \infty \), temos:
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1 + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{2 - \frac{{3}}{{x}}}} = \frac{{1 + 0}}{{2 - 0}} = \frac{{1}}{{2}} \).
