Exercícios Resolvidos sobre Limites

Exercício de Limites

1. Calcule o limite:

\( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) \).

Solução:

Para calcular o limite, substituímos \( x \) por \( 2 \) na expressão dada:

\( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 \).

Simplificando a expressão:

\( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 4 - 6 + 2 \).

Finalmente, encontramos o valor do limite:

\( \lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 0 \).

Exercício de Limites

2. Calcule o limite:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} \).

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a propriedade fundamental:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} = 1 \).

Exercício de Limites

3. Calcule o limite:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x} \).

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a definição de derivada:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x} = \frac{{d}}{{dx}}(e^x) \Big|_{{x=0}} \).

Derivando a função \( e^x \), obtemos:

\( \frac{{d}}{{dx}}(e^x) = e^x \).

Avaliando a derivada em \( x = 0 \), encontramos:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x} = e^0 = 1 \).

Exercício de Limites

4. Calcule o limite:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} \).

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a regra de L'Hôpital:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(x^2 - 3x + 2)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(2x^2 + 5x - 3)}} \).

Derivando o numerador e o denominador, obtemos:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x - 3}}{{4x + 5}} \).

Avaliando o limite quando \( x \to \infty \), encontramos:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \frac{{2\infty - 3}}{{4\infty + 5}} = \frac{{\infty}}{{\infty}} \).

Aplicando novamente a regra de L'Hôpital:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(2x - 3)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(4x + 5)}} \).

Derivando novamente o numerador e o denominador, obtemos:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2}}{{4}} = \frac{{1}}{{2}} \).

Exercício de Limites

5. Calcule o limite:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - \cos(x) - 1}}{x^2} \).

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a expansão em série de Taylor:

\( e^x \approx 1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots \) (para \( x \to 0 \)).

Substituindo a expansão em série de Taylor na expressão original:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - \cos(x) - 1}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x) - 1}}{x^2} \).

Simplificando a expressão:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x) - 1}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x)}}{x^2} \).

Aplicando a regra de L'Hôpital para o numerador:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x)}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots + \sin(x)}}{2x} \).

Substituindo \( x = 0 \) na expressão, obtemos:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots + \sin(x)}}{2x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0} \).

Note que a expressão resulta em \( \frac{{1}}{{0}} \), o que é uma indeterminação. Portanto, precisamos aplicar novamente a regra de L'Hôpital:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(1)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(2x)}} \).

Derivando o numerador e o denominador, temos:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{0}}{{2}} = 0 \).

Exercício de Limites

6. Calcule o limite:

\( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x \).

Solução:

Para calcular o limite, usamos a propriedade:

\( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{1}}{{n}}\right)^n = e \).

Substituindo \( x \) por \( \frac{{x}}{{3}} \) na expressão original:

\( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x = \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{1}}{{\frac{{x}}{{3}}}}\right)^{\frac{{x}}{{3}}} \).

Usando a propriedade mencionada, temos:

\( \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x = e \).

Exercício de Limites

7. Calcule o limite:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} \).

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a definição de derivada:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} = \frac{{d}}{{dx}}(\sin(3x)) \Big|_{{x=0}} \).

Derivando a função \( \sin(3x) \), temos:

\( \frac{{d}}{{dx}}(\sin(3x)) = 3\cos(3x) \).

Avaliando a derivada em \( x = 0 \), encontramos:

\( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} = 3\cos(3 \cdot 0) = 3 \).

Exercício de Limites

8. Calcule o limite:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x + \sqrt{x}}}{{2x - 3}} \).

Solução:

Para calcular o limite, dividimos todos os termos por \( x \):

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{x + \sqrt{x}}}{{2x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{x}}{{x}} + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{\frac{{2x}}{{x}} - \frac{{3}}{{x}}}} \).

Simplificando a expressão:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{x}}{{x}} + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{\frac{{2x}}{{x}} - \frac{{3}}{{x}}}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1 + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{2 - \frac{{3}}{{x}}}} \).

Quando \( x \to \infty \), temos:

\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1 + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{2 - \frac{{3}}{{x}}}} = \frac{{1 + 0}}{{2 - 0}} = \frac{{1}}{{2}} \).