Exercícios Resolvidos sobre Limites

Exercício de Limites

1. Calcule o limite:

$\lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2)$.

Solução:

Para calcular o limite, substituímos $x$ por $2$ na expressão dada:

$\lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2$.

Simplificando a expressão:

$\lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 4 - 6 + 2$.

Finalmente, encontramos o valor do limite:

$\lim_{{x \to 2}} (x^2 - 3x + 2) = 0$.

Exercício de Limites

2. Calcule o limite:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x}$.

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a propriedade fundamental:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} = 1$.

Exercício de Limites

3. Calcule o limite:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x}$.

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a definição de derivada:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x} = \frac{{d}}{{dx}}(e^x) \Big|_{{x=0}}$.

Derivando a função $e^x$, obtemos:

$\frac{{d}}{{dx}}(e^x) = e^x$.

Avaliando a derivada em $x = 0$, encontramos:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - 1}}{x} = e^0 = 1$.

Exercício de Limites

4. Calcule o limite:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}}$.

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a regra de L'Hôpital:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(x^2 - 3x + 2)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(2x^2 + 5x - 3)}}$.

Derivando o numerador e o denominador, obtemos:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2x - 3}}{{4x + 5}}$.

Avaliando o limite quando $x \to \infty$, encontramos:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \frac{{2\infty - 3}}{{4\infty + 5}} = \frac{{\infty}}{{\infty}}$.

Aplicando novamente a regra de L'Hôpital:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(2x - 3)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(4x + 5)}}$.

Derivando novamente o numerador e o denominador, obtemos:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^2 - 3x + 2}}{{2x^2 + 5x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2}}{{4}} = \frac{{1}}{{2}}$.

Exercício de Limites

5. Calcule o limite:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - \cos(x) - 1}}{x^2}$.

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a expansão em série de Taylor:

$e^x \approx 1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots$ (para $x \to 0$).

Substituindo a expansão em série de Taylor na expressão original:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{e^x - \cos(x) - 1}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x) - 1}}{x^2}$.

Simplificando a expressão:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x) - 1}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x)}}{x^2}$.

Aplicando a regra de L'Hôpital para o numerador:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots - \cos(x)}}{x^2} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots + \sin(x)}}{2x}$.

Substituindo $x = 0$ na expressão, obtemos:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{1 + x + \frac{{x^2}}{2} + \frac{{x^3}}{6} + \ldots + \sin(x)}}{2x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0}$.

Note que a expressão resulta em $\frac{{1}}{{0}}$, o que é uma indeterminação. Portanto, precisamos aplicar novamente a regra de L'Hôpital:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\frac{{d}}{{dx}}(1)}}{{\frac{{d}}{{dx}}(2x)}}$.

Derivando o numerador e o denominador, temos:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{1}}{0} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{0}}{{2}} = 0$.

Exercício de Limites

6. Calcule o limite:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x$.

Solução:

Para calcular o limite, usamos a propriedade:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{1}}{{n}}\right)^n = e$.

Substituindo $x$ por $\frac{{x}}{{3}}$ na expressão original:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x = \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{1}}{{\frac{{x}}{{3}}}}\right)^{\frac{{x}}{{3}}}$.

Usando a propriedade mencionada, temos:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{{3}}{{x}}\right)^x = e$.

Exercício de Limites

7. Calcule o limite:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}}$.

Solução:

Para calcular o limite, utilizamos a definição de derivada:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} = \frac{{d}}{{dx}}(\sin(3x)) \Big|_{{x=0}}$.

Derivando a função $\sin(3x)$, temos:

$\frac{{d}}{{dx}}(\sin(3x)) = 3\cos(3x)$.

Avaliando a derivada em $x = 0$, encontramos:

$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(3x)}}{{2x}} = 3\cos(3 \cdot 0) = 3$.

Exercício de Limites

8. Calcule o limite:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x + \sqrt{x}}}{{2x - 3}}$.

Solução:

Para calcular o limite, dividimos todos os termos por $x$:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x + \sqrt{x}}}{{2x - 3}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{x}}{{x}} + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{\frac{{2x}}{{x}} - \frac{{3}}{{x}}}}$.

Simplificando a expressão:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{x}}{{x}} + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{\frac{{2x}}{{x}} - \frac{{3}}{{x}}}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{1 + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{2 - \frac{{3}}{{x}}}}$.

Quando $x \to \infty$, temos:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{1 + \frac{{\sqrt{x}}}{{x}}}}{{2 - \frac{{3}}{{x}}}} = \frac{{1 + 0}}{{2 - 0}} = \frac{{1}}{{2}}$.