Avaliação (segunda opção) - Turma 3C

GABARITO SEGUNDA AVALIAÇÃO DE 2016 - TURMAS 3A e 3B

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Ângulo entre duas retas - Exercícios Resolvidos

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01) Determine o ângulo agudo formado pela reta: x - 2 = 0 e y – 3 = 0?

02) Determine o ângulo agudo formado pela reta: 2x - 3y + 1 = 0 e 6x = 9y.

03) Determine a medida do ângulo agudo formado pelas retas 3x + y - 10 = 0 e -2x + y -15 = 0.

04) Determine o ângulo agudo formado pelas retas r: 6x - 2y + 5 = 0 e s: 4x + 2y -1 = 0?

Exercícios Resolvidos sobre Ângulo entre Duas Retas

1) Determine o ângulo entre as retas \( r_1: y = 2x + 3 \) e \( r_2: y = -3x + 2 \).

Resolução:

Primeiro, vamos escrever as duas equações na forma \( y = mx + b \), onde \( m \) é o coeficiente angular e \( b \) é o coeficiente linear.

Para \( r_1: y = 2x + 3 \), temos \( m_1 = 2 \) e \( b_1 = 3 \).

Para \( r_2: y = -3x + 2 \), temos \( m_2 = -3 \) e \( b_2 = 2 \).

O ângulo \( \theta \) entre duas retas com coeficientes angulares \( m_1 \) e \( m_2 \) é dado por:

\[ \theta = \arctan \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \]

Substituindo os valores, temos:

\[ \theta = \arctan \left| \frac{(-3) - 2}{1 + (2) \cdot (-3)} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left| \frac{-5}{-5} \right| \]

\[ \theta = \arctan(1) \]

\[ \theta = 45^\circ \]

2) Calcule o ângulo entre as retas \( r_1: y = \frac{3}{4}x + 1 \) e \( r_2: y = -2x - 3 \).

Resolução:

Para \( r_1: y = \frac{3}{4}x + 1 \), temos \( m_1 = \frac{3}{4} \) e \( b_1 = 1 \).

Para \( r_2: y = -2x - 3 \), temos \( m_2 = -2 \) e \( b_2 = -3 \).

Substituindo os valores na fórmula do ângulo entre duas retas, temos:

\[ \theta = \arctan \left| \frac{(-2) - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4} \cdot (-2)} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left| \frac{-\frac{11}{4}}{\frac{5}{2}} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left| -\frac{11}{5} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left(\frac{11}{5}\right) \]

\[ \theta \approx 63.43^\circ \]

3) Determine o ângulo entre as retas \( r_1: y = -5x + 2 \) e \( r_2: y = 2x - 1 \).

Resolução:

Para \( r_1: y = -5x + 2 \), temos \( m_1 = -5 \) e \( b_1 = 2 \).

Para \( r_2: y = 2x - 1 \), temos \( m_2 = 2 \) e \( b_2 = -1 \).

Substituindo os valores na fórmula do ângulo entre duas retas, temos:

\[ \theta = \arctan \left| \frac{2 - (-5)}{1 + (-5) \cdot 2} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left| \frac{7}{-9} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left(-\frac{7}{9}\right) \]

\[ \theta \approx -37.55^\circ \]

4) Calcule o ângulo entre as retas \( r_1: y = -\frac{1}{2}x + 3 \) e \( r_2: y = \frac{1}{2}x - 1 \).

Resolução:

Para \( r_1: y = -\frac{1}{2}x + 3 \), temos \( m_1 = -\frac{1}{2} \) e \( b_1 = 3 \).

Para \( r_2: y = \frac{1}{2}x - 1 \), temos \( m_2 = \frac{1}{2} \) e \( b_2 = -1 \).

Substituindo os valores na fórmula do ângulo entre duas retas, temos:

\[ \theta = \arctan \left| \frac{\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left| \frac{1}{1 + \left(-\frac{1}{4}\right)} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left| \frac{1}{\frac{3}{4}} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left(\frac{4}{3}\right) \]

\[ \theta \approx 53.13^\circ \]

5) Determine o ângulo entre as retas \( r_1: y = 2x - 4 \) e \( r_2: y = -\frac{1}{2}x + 1 \).

Resolução:

Para \( r_1: y = 2x - 4 \), temos \( m_1 = 2 \) e \( b_1 = -4 \).

Para \( r_2: y = -\frac{1}{2}x + 1 \), temos \( m_2 = -\frac{1}{2} \) e \( b_2 = 1 \).

Substituindo os valores na fórmula do ângulo entre duas retas, temos:

\[ \theta = \arctan \left| \frac{-\frac{1}{2} - 2}{1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \right| \]

\[ \theta = \arctan \left| \frac{-\frac{5}{2}}{0} \right| \]

O denominador é igual a zero, o que indica que as retas são paralelas e não possuem ângulo entre elas.