Exercícios Resolvidos sobre Ângulo entre Duas Retas

1) Determine o ângulo entre as retas $r_1: y = 2x + 3$ e $r_2: y = -3x + 2$.

Resolução:

Primeiro, vamos escrever as duas equações na forma $y = mx + b$, onde $m$ é o coeficiente angular e $b$ é o coeficiente linear.

Para $r_1: y = 2x + 3$, temos $m_1 = 2$ e $b_1 = 3$.

Para $r_2: y = -3x + 2$, temos $m_2 = -3$ e $b_2 = 2$.

O ângulo $\theta$ entre duas retas com coeficientes angulares $m_1$ e $m_2$ é dado por:

$$\theta = \arctan \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$$

Substituindo os valores, temos:

$$\theta = \arctan \left| \frac{(-3) - 2}{1 + (2) \cdot (-3)} \right|$$

$$\theta = \arctan \left| \frac{-5}{-5} \right|$$

$$\theta = \arctan(1)$$

$$\theta = 45^\circ$$

2) Calcule o ângulo entre as retas $r_1: y = \frac{3}{4}x + 1$ e $r_2: y = -2x - 3$.

Resolução:

Para $r_1: y = \frac{3}{4}x + 1$, temos $m_1 = \frac{3}{4}$ e $b_1 = 1$.

Para $r_2: y = -2x - 3$, temos $m_2 = -2$ e $b_2 = -3$.

Substituindo os valores na fórmula do ângulo entre duas retas, temos:

$$\theta = \arctan \left| \frac{(-2) - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4} \cdot (-2)} \right|$$

$$\theta = \arctan \left| \frac{-\frac{11}{4}}{\frac{5}{2}} \right|$$

$$\theta = \arctan \left| -\frac{11}{5} \right|$$

$$\theta = \arctan \left(\frac{11}{5}\right)$$

$$\theta \approx 63.43^\circ$$

3) Determine o ângulo entre as retas $r_1: y = -5x + 2$ e $r_2: y = 2x - 1$.

Resolução:

Para $r_1: y = -5x + 2$, temos $m_1 = -5$ e $b_1 = 2$.

Para $r_2: y = 2x - 1$, temos $m_2 = 2$ e $b_2 = -1$.

Substituindo os valores na fórmula do ângulo entre duas retas, temos:

$$\theta = \arctan \left| \frac{2 - (-5)}{1 + (-5) \cdot 2} \right|$$

$$\theta = \arctan \left| \frac{7}{-9} \right|$$

$$\theta = \arctan \left(-\frac{7}{9}\right)$$

$$\theta \approx -37.55^\circ$$

4) Calcule o ângulo entre as retas $r_1: y = -\frac{1}{2}x + 3$ e $r_2: y = \frac{1}{2}x - 1$.

Resolução:

Para $r_1: y = -\frac{1}{2}x + 3$, temos $m_1 = -\frac{1}{2}$ e $b_1 = 3$.

Para $r_2: y = \frac{1}{2}x - 1$, temos $m_2 = \frac{1}{2}$ e $b_2 = -1$.

Substituindo os valores na fórmula do ângulo entre duas retas, temos:

$$\theta = \arctan \left| \frac{\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}} \right|$$

$$\theta = \arctan \left| \frac{1}{1 + \left(-\frac{1}{4}\right)} \right|$$

$$\theta = \arctan \left| \frac{1}{\frac{3}{4}} \right|$$

$$\theta = \arctan \left(\frac{4}{3}\right)$$

$$\theta \approx 53.13^\circ$$

5) Determine o ângulo entre as retas $r_1: y = 2x - 4$ e $r_2: y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Resolução:

Para $r_1: y = 2x - 4$, temos $m_1 = 2$ e $b_1 = -4$.

Para $r_2: y = -\frac{1}{2}x + 1$, temos $m_2 = -\frac{1}{2}$ e $b_2 = 1$.

Substituindo os valores na fórmula do ângulo entre duas retas, temos:

$$\theta = \arctan \left| \frac{-\frac{1}{2} - 2}{1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \right|$$

$$\theta = \arctan \left| \frac{-\frac{5}{2}}{0} \right|$$

O denominador é igual a zero, o que indica que as retas são paralelas e não possuem ângulo entre elas.