Exercício de Identidades Trigonométricas

Exercício de Identidades Trigonométricas

1. Simplifique a expressão trigonométrica:

\( \sin^2(x) + \cos^2(x) \).

Solução:

Usamos a identidade trigonométrica fundamental:

\( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).

Portanto, a expressão é simplificada para:

\( 1 \).

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2. Simplifique a expressão trigonométrica:

\( \tan(x) \cdot \cot(x) \).

Solução:

Usamos a identidade trigonométrica:

\( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \).

Substituindo na expressão original:

\( \tan(x) \cdot \cot(x) = \tan(x) \cdot \frac{1}{\tan(x)} \).

Multiplicando a fração:

\( \tan(x) \cdot \cot(x) = \frac{\tan(x)}{\tan(x)} \).

Qualquer número dividido por ele mesmo é igual a 1:

\( \tan(x) \cdot \cot(x) = 1 \).

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3. Simplifique a expressão trigonométrica:

\( \cos^2(x) - \sin^2(x) \).

Solução:

Usamos a identidade trigonométrica:

\( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) \).

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4. Simplifique a expressão trigonométrica:

\( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \).

Solução:

Usamos a propriedade de cancelamento:

\( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 1 \).

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5. Simplifique a expressão trigonométrica:

\( \frac{\tan^3(x)}{\cot(x)} + \cot^2(x) \).

Solução:

Primeiro, usamos a identidade trigonométrica:

\( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \).

Substituindo a identidade na expressão original:

\( \frac{\tan^3(x)}{\cot(x)} + \cot^2(x) = \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} \).

Em seguida, usamos a identidade trigonométrica:

\( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \).

Substituindo a identidade na expressão anterior:

\( \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} = \tan^3(x) + \frac{1}{\sec^2(x) - 1} \).

Agora, usamos a identidade trigonométrica:

\( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \).

Substituindo a identidade na expressão anterior:

\( \tan^3(x) + \frac{1}{\sec^2(x) - 1} = \tan^3(x) + \frac{1}{(1 + \tan^2(x)) - 1} \).

Simplificando o denominador:

\( \tan^3(x) + \frac{1}{(1 + \tan^2(x)) - 1} = \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} \).

Finalmente, chegamos a:

\( \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} = \tan^3(x) + \cot^2(x) \).

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6. Simplifique a expressão trigonométrica:

\( \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} \).

Solução:

Primeiro, usamos a identidade trigonométrica:

\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \).

Substituindo a identidade na expressão original:

\( \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{\sin(2x)}{1 + (1 - 2\sin^2(x))} \).

Simplificando o denominador:

\( \frac{\sin(2x)}{1 + (1 - 2\sin^2(x))} = \frac{\sin(2x)}{2 - 2\sin^2(x)} \).

Agora, usamos a identidade trigonométrica:

\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

Substituindo a identidade na expressão anterior:

\( \frac{\sin(2x)}{2 - 2\sin^2(x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2 - 2\sin^2(x)} \).

Fatorando o denominador:

\( \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2 - 2\sin^2(x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2(1 - \sin^2(x))} \).

Usamos a identidade trigonométrica:

\( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).

Substituindo a identidade no denominador:

\( \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2(1 - \sin^2(x))} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} \).

Simplificando o denominador:

\( \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \).

Finalmente, chegamos a:

\( \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \).