Exercício de Identidades Trigonométricas

Exercício de Identidades Trigonométricas

1. Simplifique a expressão trigonométrica:

$\sin^2(x) + \cos^2(x)$.

Solução:

Usamos a identidade trigonométrica fundamental:

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Portanto, a expressão é simplificada para:

$1$.

Exercício de Identidades Trigonométricas

2. Simplifique a expressão trigonométrica:

$\tan(x) \cdot \cot(x)$.

Solução:

Usamos a identidade trigonométrica:

$\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$.

Substituindo na expressão original:

$\tan(x) \cdot \cot(x) = \tan(x) \cdot \frac{1}{\tan(x)}$.

Multiplicando a fração:

$\tan(x) \cdot \cot(x) = \frac{\tan(x)}{\tan(x)}$.

Qualquer número dividido por ele mesmo é igual a 1:

$\tan(x) \cdot \cot(x) = 1$.

Exercício de Identidades Trigonométricas

3. Simplifique a expressão trigonométrica:

$\cos^2(x) - \sin^2(x)$.

Solução:

Usamos a identidade trigonométrica:

$\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$.

Exercício de Identidades Trigonométricas

4. Simplifique a expressão trigonométrica:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

Solução:

Usamos a propriedade de cancelamento:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 1$.

Exercício de Identidades Trigonométricas

5. Simplifique a expressão trigonométrica:

$\frac{\tan^3(x)}{\cot(x)} + \cot^2(x)$.

Solução:

Primeiro, usamos a identidade trigonométrica:

$\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$.

Substituindo a identidade na expressão original:

$\frac{\tan^3(x)}{\cot(x)} + \cot^2(x) = \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)}$.

Em seguida, usamos a identidade trigonométrica:

$\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$.

Substituindo a identidade na expressão anterior:

$\tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} = \tan^3(x) + \frac{1}{\sec^2(x) - 1}$.

Agora, usamos a identidade trigonométrica:

$\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)$.

Substituindo a identidade na expressão anterior:

$\tan^3(x) + \frac{1}{\sec^2(x) - 1} = \tan^3(x) + \frac{1}{(1 + \tan^2(x)) - 1}$.

Simplificando o denominador:

$\tan^3(x) + \frac{1}{(1 + \tan^2(x)) - 1} = \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)}$.

Finalmente, chegamos a:

$\tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} = \tan^3(x) + \cot^2(x)$.

Exercício de Identidades Trigonométricas

6. Simplifique a expressão trigonométrica:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

Solução:

Primeiro, usamos a identidade trigonométrica:

$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$.

Substituindo a identidade na expressão original:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{\sin(2x)}{1 + (1 - 2\sin^2(x))}$.

Simplificando o denominador:

$\frac{\sin(2x)}{1 + (1 - 2\sin^2(x))} = \frac{\sin(2x)}{2 - 2\sin^2(x)}$.

Agora, usamos a identidade trigonométrica:

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Substituindo a identidade na expressão anterior:

$\frac{\sin(2x)}{2 - 2\sin^2(x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2 - 2\sin^2(x)}$.

Fatorando o denominador:

$\frac{2\sin(x)\cos(x)}{2 - 2\sin^2(x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2(1 - \sin^2(x))}$.

Usamos a identidade trigonométrica:

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Substituindo a identidade no denominador:

$\frac{2\sin(x)\cos(x)}{2(1 - \sin^2(x))} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)}$.

Simplificando o denominador:

$\frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

Finalmente, chegamos a:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.