Exercício de Identidades Trigonométricas
1. Simplifique a expressão trigonométrica:
\( \sin^2(x) + \cos^2(x) \).
Solução:
Usamos a identidade trigonométrica fundamental:
\( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).
Portanto, a expressão é simplificada para:
\( 1 \).
Exercício de Identidades Trigonométricas
2. Simplifique a expressão trigonométrica:
\( \tan(x) \cdot \cot(x) \).
Solução:
Usamos a identidade trigonométrica:
\( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \).
Substituindo na expressão original:
\( \tan(x) \cdot \cot(x) = \tan(x) \cdot \frac{1}{\tan(x)} \).
Multiplicando a fração:
\( \tan(x) \cdot \cot(x) = \frac{\tan(x)}{\tan(x)} \).
Qualquer número dividido por ele mesmo é igual a 1:
\( \tan(x) \cdot \cot(x) = 1 \).
Exercício de Identidades Trigonométricas
3. Simplifique a expressão trigonométrica:
\( \cos^2(x) - \sin^2(x) \).
Solução:
Usamos a identidade trigonométrica:
\( \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x) \).
Exercício de Identidades Trigonométricas
4. Simplifique a expressão trigonométrica:
\( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \).
Solução:
Usamos a propriedade de cancelamento:
\( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 1 \).
Exercício de Identidades Trigonométricas
5. Simplifique a expressão trigonométrica:
\( \frac{\tan^3(x)}{\cot(x)} + \cot^2(x) \).
Solução:
Primeiro, usamos a identidade trigonométrica:
\( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \).
Substituindo a identidade na expressão original:
\( \frac{\tan^3(x)}{\cot(x)} + \cot^2(x) = \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} \).
Em seguida, usamos a identidade trigonométrica:
\( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \).
Substituindo a identidade na expressão anterior:
\( \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} = \tan^3(x) + \frac{1}{\sec^2(x) - 1} \).
Agora, usamos a identidade trigonométrica:
\( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \).
Substituindo a identidade na expressão anterior:
\( \tan^3(x) + \frac{1}{\sec^2(x) - 1} = \tan^3(x) + \frac{1}{(1 + \tan^2(x)) - 1} \).
Simplificando o denominador:
\( \tan^3(x) + \frac{1}{(1 + \tan^2(x)) - 1} = \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} \).
Finalmente, chegamos a:
\( \tan^3(x) + \frac{1}{\tan^2(x)} = \tan^3(x) + \cot^2(x) \).
Exercício de Identidades Trigonométricas
6. Simplifique a expressão trigonométrica:
\( \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} \).
Solução:
Primeiro, usamos a identidade trigonométrica:
\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \).
Substituindo a identidade na expressão original:
\( \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{\sin(2x)}{1 + (1 - 2\sin^2(x))} \).
Simplificando o denominador:
\( \frac{\sin(2x)}{1 + (1 - 2\sin^2(x))} = \frac{\sin(2x)}{2 - 2\sin^2(x)} \).
Agora, usamos a identidade trigonométrica:
\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).
Substituindo a identidade na expressão anterior:
\( \frac{\sin(2x)}{2 - 2\sin^2(x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2 - 2\sin^2(x)} \).
Fatorando o denominador:
\( \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2 - 2\sin^2(x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2(1 - \sin^2(x))} \).
Usamos a identidade trigonométrica:
\( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).
Substituindo a identidade no denominador:
\( \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2(1 - \sin^2(x))} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} \).
Simplificando o denominador:
\( \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \).
Finalmente, chegamos a:
\( \frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \).
