1. Dada a sequência de números \(4, 6, 2, 8, 6, 3, 2, 7\), determine:
a) A média aritmética.
b) A mediana.
c) A moda.
d) O desvio padrão amostral.
Resolução:
a) A média aritmética:
A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.
\[ \text{Média} = \frac{4 + 6 + 2 + 8 + 6 + 3 + 2 + 7}{8} = \frac{38}{8} = 4.75 \]
b) A mediana:
Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.
Sequência ordenada: \(2, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 8\)
Como a sequência possui um número par de elementos, a mediana é a média dos dois valores centrais: \(4\) e \(6\).
\[ \text{Mediana} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \]
c) A moda:
A moda é o valor que mais se repete na sequência.
Na sequência fornecida, os valores \(2\) e \(6\) se repetem mais vezes (duas vezes cada), portanto, a moda é \(2\) e \(6\).
d) O desvio padrão amostral:
O desvio padrão amostral é uma medida de dispersão dos dados em relação à média.
Primeiro, calculamos a média aritmética:
\[ \text{Média} = 4.75 \]
Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).
\(4 - 4.75 = -0.75\)
\(6 - 4.75 = 1.25\)
\(2 - 4.75 = -2.75\)
\(8 - 4.75 = 3.25\)
\(6 - 4.75 = 1.25\)
\(3 - 4.75 = -1.75\)
\(2 - 4.75 = -2.75\)
\(7 - 4.75 = 2.25\)
Somatório: \(S = (-0.75)^2 + (1.25)^2 + (-2.75)^2 + (3.25)^2 + (1.25)^2 + (-1.75)^2 + (-2.75)^2 + (2.25)^2 = 39.25\)
Número de elementos: \(n = 8\)
Desvio padrão amostral: \( \sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{39.25}{7}} \approx 2.86 \)
2. Considere os seguintes dados referentes à quantidade de gols marcados por um time de futebol em \(10\) jogos consecutivos: \(3, 2, 1, 3, 4, 2, 3, 0, 2, 1\). Determine:
a) A média aritmética.
b) A mediana.
c) A moda.
d) O desvio padrão amostral.
Resolução:
a) A média aritmética:
A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.
\[ \text{Média} = \frac{3 + 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 3 + 0 + 2 + 1}{10} = \frac{21}{10} = 2.1 \]
b) A mediana:
Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.
Sequência ordenada: \(0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4\)
A sequência possui um número par de elementos, portanto, a mediana é a média dos dois valores centrais: \(2\) e \(2\).
\[ \text{Mediana} = \frac{2 + 2}{2} = 2 \]
c) A moda:
A moda é o valor que mais se repete na sequência.
Na sequência fornecida, o valor \(2\) se repete mais vezes (três vezes), portanto, a moda é \(2\).
d) O desvio padrão amostral:
Primeiro, calculamos a média aritmética:
\[ \text{Média} = 2.1 \]
Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).
\(3 - 2.1 = 0.9\)
\(2 - 2.1 = -0.1\)
\(1 - 2.1 = -1.1\)
\(3 - 2.1 = 0.9\)
\(4 - 2.1 = 1.9\)
\(2 - 2.1 = -0.1\)
\(3 - 2.1 = 0.9\)
\(0 - 2.1 = -2.1\)
\(2 - 2.1 = -0.1\)
\(1 - 2.1 = -1.1\)
Somatório: \(S = (0.9)^2 + (-0.1)^2 + (-1.1)^2 + (0.9)^2 + (1.9)^2 + (-0.1)^2 + (0.9)^2 + (-2.1)^2 + (-0.1)^2 + (-1.1)^2 = 10.5\)
Número de elementos: \(n = 10\)
Desvio padrão amostral: \( \sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{10.5}{9}} \approx 1.08 \)
3. Em um teste de aptidão física, os tempos (em segundos) de \(6\) pessoas para percorrerem uma determinada distância foram: \(25, 30, 32, 28, 27, 33\). Determine:
a) A média aritmética.
b) A mediana.
c) A moda.
d) O desvio padrão amostral.
Resolução:
a) A média aritmética:
A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.
\[ \text{Média} = \frac{25 + 30 + 32 + 28 + 27 + 33}{6} = \frac{175}{6} \approx 29.17 \]
b) A mediana:
Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.
Sequência ordenada: \(25, 27, 28, 30, 32, 33\)
A sequência possui um número ímpar de elementos, portanto, a mediana é o valor central: \(30\).
\[ \text{Mediana} = 30 \]
c) A moda:
A moda é o valor que mais se repete na sequência.
Na sequência fornecida, não há valores que se repitam, portanto, não há moda.
d) O desvio padrão amostral:
Primeiro, calculamos a média aritmética:
\[ \text{Média} = 29.17 \]
Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).
\(25 - 29.17 = -4.17\)
\(30 - 29.17 = 0.83\)
\(32 - 29.17 = 2.83\)
\(28 - 29.17 = -1.17\)
\(27 - 29.17 = -2.17\)
\(33 - 29.17 = 3.83\)
Somatório: \(S = (-4.17)^2 + (0.83)^2 + (2.83)^2 + (-1.17)^2 + (-2.17)^2 + (3.83)^2 = 43.92\)
Número de elementos: \(n = 6\)
Desvio padrão amostral: \( \sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{43.92}{5}} \approx 3.33 \)
4. Considere as notas de um aluno em cinco provas: \(6, 8, 7, 9, 5\). Determine:
a) A média aritmética.
b) A mediana.
c) A moda.
d) O desvio padrão amostral.
Resolução:
a) A média aritmética:
A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.
\[ \text{Média} = \frac{6 + 8 + 7 + 9 + 5}{5} = \frac{35}{5} = 7 \]
b) A mediana:
Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.
Sequência ordenada: \(5, 6, 7, 8, 9\)
A sequência possui um número ímpar de elementos, portanto, a mediana é o valor central: \(7\).
\[ \text{Mediana} = 7 \]
c) A moda:
A moda é o valor que mais se repete na sequência.
Na sequência fornecida, não há valores que se repitam, portanto, não há moda.
d) O desvio padrão amostral:
Primeiro, calculamos a média aritmética:
\[ \text{Média} = 7 \]
Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).
\(6 - 7 = -1\)
\(8 - 7 = 1\)
\(7 - 7 = 0\)
\(9 - 7 = 2\)
\(5 - 7 = -2\)
Somatório: \(S = (-1)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (2)^2 + (-2)^2 = 10\)
Número de elementos: \(n = 5\)
Desvio padrão amostral: \( \sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{2.5} \approx 1.58 \)
5. Um pesquisador fez uma pesquisa com \(8\) pessoas sobre o número de horas que elas dormem por noite. Os resultados foram: \(7, 8, 7, 6, 9, 8, 7, 8\). Determine:
a) A média aritmética.
b) A mediana.
c) A moda.
d) O desvio padrão amostral.
Resolução:
a) A média aritmética:
A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.
\[ \text{Média} = \frac{7 + 8 + 7 + 6 + 9 + 8 + 7 + 8}{8} = \frac{60}{8} = 7.5 \]
b) A mediana:
Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.
Sequência ordenada: \(6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9\)
A sequência possui um número par de elementos, portanto, a mediana é a média dos dois valores centrais: \(7\) e \(8\).
\[ \text{Mediana} = \frac{7 + 8}{2} = 7.5 \]
c) A moda:
A moda é o valor que mais se repete na sequência.
Na sequência fornecida, os valores \(7\) e \(8\) se repetem mais vezes (três vezes cada), portanto, a moda é \(7\) e \(8\).
d) O desvio padrão amostral:
Primeiro, calculamos a média aritmética:
\[ \text{Média} = 7.5 \]
Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).
\(7 - 7.5 = -0.5\)
\(8 - 7.5 = 0.5\)
\(7 - 7.5 = -0.5\)
\(6 - 7.5 = -1.5\)
\(9 - 7.5 = 1.5\)
\(8 - 7.5 = 0.5\)
\(7 - 7.5 = -0.5\)
\(8 - 7.5 = 0.5\)
Somatório: \(S = (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (-0.5)^2 + (-1.5)^2 + (1.5)^2 + (0.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 = 5\)
Número de elementos: \(n = 8\)
Desvio padrão amostral: \( \sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{5}{7}} \approx 0.91 \)
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