Lista de Exercícios Resolvidos sobre Média, Mediana, Moda e Desvio Padrão

1. Dada a sequência de números $4, 6, 2, 8, 6, 3, 2, 7$, determine:

a) A média aritmética.

b) A mediana.

c) A moda.

d) O desvio padrão amostral.

Resolução:

a) A média aritmética:

A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.

$$\text{Média} = \frac{4 + 6 + 2 + 8 + 6 + 3 + 2 + 7}{8} = \frac{38}{8} = 4.75$$

b) A mediana:

Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.

Sequência ordenada: $2, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 8$

Como a sequência possui um número par de elementos, a mediana é a média dos dois valores centrais: $4$ e $6$.

$$\text{Mediana} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

c) A moda:

A moda é o valor que mais se repete na sequência.

Na sequência fornecida, os valores $2$ e $6$ se repetem mais vezes (duas vezes cada), portanto, a moda é $2$ e $6$.

d) O desvio padrão amostral:

O desvio padrão amostral é uma medida de dispersão dos dados em relação à média.

Primeiro, calculamos a média aritmética:

$$\text{Média} = 4.75$$

Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).

$4 - 4.75 = -0.75$

$6 - 4.75 = 1.25$

$2 - 4.75 = -2.75$

$8 - 4.75 = 3.25$

$6 - 4.75 = 1.25$

$3 - 4.75 = -1.75$

$2 - 4.75 = -2.75$

$7 - 4.75 = 2.25$

Somatório: $S = (-0.75)^2 + (1.25)^2 + (-2.75)^2 + (3.25)^2 + (1.25)^2 + (-1.75)^2 + (-2.75)^2 + (2.25)^2 = 39.25$

Número de elementos: $n = 8$

Desvio padrão amostral: $\sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{39.25}{7}} \approx 2.86$

2. Considere os seguintes dados referentes à quantidade de gols marcados por um time de futebol em $10$ jogos consecutivos: $3, 2, 1, 3, 4, 2, 3, 0, 2, 1$. Determine:

a) A média aritmética.

b) A mediana.

c) A moda.

d) O desvio padrão amostral.

Resolução:

a) A média aritmética:

A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.

$$\text{Média} = \frac{3 + 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 3 + 0 + 2 + 1}{10} = \frac{21}{10} = 2.1$$

b) A mediana:

Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.

Sequência ordenada: $0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4$

A sequência possui um número par de elementos, portanto, a mediana é a média dos dois valores centrais: $2$ e $2$.

$$\text{Mediana} = \frac{2 + 2}{2} = 2$$

c) A moda:

A moda é o valor que mais se repete na sequência.

Na sequência fornecida, o valor $2$ se repete mais vezes (três vezes), portanto, a moda é $2$.

d) O desvio padrão amostral:

Primeiro, calculamos a média aritmética:

$$\text{Média} = 2.1$$

Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).

$3 - 2.1 = 0.9$

$2 - 2.1 = -0.1$

$1 - 2.1 = -1.1$

$3 - 2.1 = 0.9$

$4 - 2.1 = 1.9$

$2 - 2.1 = -0.1$

$3 - 2.1 = 0.9$

$0 - 2.1 = -2.1$

$2 - 2.1 = -0.1$

$1 - 2.1 = -1.1$

Somatório: $S = (0.9)^2 + (-0.1)^2 + (-1.1)^2 + (0.9)^2 + (1.9)^2 + (-0.1)^2 + (0.9)^2 + (-2.1)^2 + (-0.1)^2 + (-1.1)^2 = 10.5$

Número de elementos: $n = 10$

Desvio padrão amostral: $\sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{10.5}{9}} \approx 1.08$

3. Em um teste de aptidão física, os tempos (em segundos) de $6$ pessoas para percorrerem uma determinada distância foram: $25, 30, 32, 28, 27, 33$. Determine:

a) A média aritmética.

b) A mediana.

c) A moda.

d) O desvio padrão amostral.

Resolução:

a) A média aritmética:

A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.

$$\text{Média} = \frac{25 + 30 + 32 + 28 + 27 + 33}{6} = \frac{175}{6} \approx 29.17$$

b) A mediana:

Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.

Sequência ordenada: $25, 27, 28, 30, 32, 33$

A sequência possui um número ímpar de elementos, portanto, a mediana é o valor central: $30$.

$$\text{Mediana} = 30$$

c) A moda:

A moda é o valor que mais se repete na sequência.

Na sequência fornecida, não há valores que se repitam, portanto, não há moda.

d) O desvio padrão amostral:

Primeiro, calculamos a média aritmética:

$$\text{Média} = 29.17$$

Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).

$25 - 29.17 = -4.17$

$30 - 29.17 = 0.83$

$32 - 29.17 = 2.83$

$28 - 29.17 = -1.17$

$27 - 29.17 = -2.17$

$33 - 29.17 = 3.83$

Somatório: $S = (-4.17)^2 + (0.83)^2 + (2.83)^2 + (-1.17)^2 + (-2.17)^2 + (3.83)^2 = 43.92$

Número de elementos: $n = 6$

Desvio padrão amostral: $\sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{43.92}{5}} \approx 3.33$

4. Considere as notas de um aluno em cinco provas: $6, 8, 7, 9, 5$. Determine:

a) A média aritmética.

b) A mediana.

c) A moda.

d) O desvio padrão amostral.

Resolução:

a) A média aritmética:

A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.

$$\text{Média} = \frac{6 + 8 + 7 + 9 + 5}{5} = \frac{35}{5} = 7$$

b) A mediana:

Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.

Sequência ordenada: $5, 6, 7, 8, 9$

A sequência possui um número ímpar de elementos, portanto, a mediana é o valor central: $7$.

$$\text{Mediana} = 7$$

c) A moda:

A moda é o valor que mais se repete na sequência.

Na sequência fornecida, não há valores que se repitam, portanto, não há moda.

d) O desvio padrão amostral:

Primeiro, calculamos a média aritmética:

$$\text{Média} = 7$$

Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).

$6 - 7 = -1$

$8 - 7 = 1$

$7 - 7 = 0$

$9 - 7 = 2$

$5 - 7 = -2$

Somatório: $S = (-1)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (2)^2 + (-2)^2 = 10$

Número de elementos: $n = 5$

Desvio padrão amostral: $\sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \sqrt{2.5} \approx 1.58$

5. Um pesquisador fez uma pesquisa com $8$ pessoas sobre o número de horas que elas dormem por noite. Os resultados foram: $7, 8, 7, 6, 9, 8, 7, 8$. Determine:

a) A média aritmética.

b) A mediana.

c) A moda.

d) O desvio padrão amostral.

Resolução:

a) A média aritmética:

A média aritmética é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos na sequência.

$$\text{Média} = \frac{7 + 8 + 7 + 6 + 9 + 8 + 7 + 8}{8} = \frac{60}{8} = 7.5$$

b) A mediana:

Para encontrar a mediana, é necessário ordenar a sequência em ordem crescente e encontrar o valor do meio.

Sequência ordenada: $6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9$

A sequência possui um número par de elementos, portanto, a mediana é a média dos dois valores centrais: $7$ e $8$.

$$\text{Mediana} = \frac{7 + 8}{2} = 7.5$$

c) A moda:

A moda é o valor que mais se repete na sequência.

Na sequência fornecida, os valores $7$ e $8$ se repetem mais vezes (três vezes cada), portanto, a moda é $7$ e $8$.

d) O desvio padrão amostral:

Primeiro, calculamos a média aritmética:

$$\text{Média} = 7.5$$

Agora, subtraímos a média de cada valor, elevamos ao quadrado, somamos os resultados e dividimos pelo número de elementos menos 1 (por ser uma amostra).

$7 - 7.5 = -0.5$

$8 - 7.5 = 0.5$

$7 - 7.5 = -0.5$

$6 - 7.5 = -1.5$

$9 - 7.5 = 1.5$

$8 - 7.5 = 0.5$

$7 - 7.5 = -0.5$

$8 - 7.5 = 0.5$

Somatório: $S = (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (-0.5)^2 + (-1.5)^2 + (1.5)^2 + (0.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 = 5$

Número de elementos: $n = 8$

Desvio padrão amostral: $\sqrt{\frac{S}{n-1}} = \sqrt{\frac{5}{7}} \approx 0.91$