Exercícios Resolvidos sobre Equação Geral da Reta com Equações Paramétricas

Lista de Exercícios: Equação Geral da Reta com Equações Paramétricas

Exercício 1

Determine a equação geral da reta com as seguintes equações paramétricas:
\(x = 2t - 1\)
\(y = 3t + 2\)

Resolução: Devemos isolar \(t\) em uma das equações e substituir na outra. Assim, temos:
Isolando \(t\) na equação (I):
\(x + 1 = 2t\)
\(t = \frac{x + 1}{2}\)
Substituindo \(t\) na equação (II):
\(y = 3\left(\frac{x + 1}{2}\right) + 2\)
\(y = \frac{3x + 3}{2} + 2\)
\(y = \frac{3x + 3 + 4}{2}\)
\(y = \frac{3x + 7}{2}\)
\(3x - 2y - 7 = 0\) → equação geral da reta

Exercício 2

Determine a equação geral da reta com as seguintes equações paramétricas:
\(x = 5t - 3\)
\(y = 2t + 4\)

Resolução: Devemos isolar \(t\) em uma das equações e substituir na outra. Assim, temos:
Isolando \(t\) na equação (I):
\(x + 3 = 5t\)
\(t = \frac{x + 3}{5}\)
Substituindo \(t\) na equação (II):
\(y = 2\left(\frac{x + 3}{5}\right) + 4\)
\(y = \frac{2x + 6}{5} + 4\)
\(y = \frac{2x + 6 + 20}{5}\)
\(y = \frac{2x + 26}{5}\)
\(2x - 5y - 26 = 0\) → equação geral da reta

Exercício 3

Determine a equação geral da reta com as seguintes equações paramétricas:
\(x = 4t - 2\)
\(y = 3t + 1\)

Resolução: Devemos isolar \(t\) em uma das equações e substituir na outra. Assim, temos:
Isolando \(t\) na equação (I):
\(x + 2 = 4t\)
\(t = \frac{x + 2}{4}\)
Substituindo \(t\) na equação (II):
\(y = 3\left(\frac{x + 2}{4}\right) + 1\)
\(y = \frac{3x + 6}{4} + 1\)
\(y = \frac{3x + 6 + 4}{4}\)
\(y = \frac{3x + 10}{4}\)
\(3x - 4y - 10 = 0\) → equação geral da reta

Exercício 4

Determine a equação geral da reta com as seguintes equações paramétricas:
\(x = 3t - 5\)
\(y = 2t + 3\)

Resolução: Devemos isolar \(t\) em uma das equações e substituir na outra. Assim, temos:
Isolando \(t\) na equação (I):
\(x + 5 = 3t\)
\(t = \frac{x + 5}{3}\)
Substituindo \(t\) na equação (II):
\(y = 2\left(\frac{x + 5}{3}\right) + 3\)
\(y = \frac{2x + 10}{3} + 3\)
\(y = \frac{2x + 10 + 9}{3}\)
\(y = \frac{2x + 19}{3}\)
\(2x - 3y - 19 = 0\) → equação geral da reta

Exercício 5

Determine a equação geral da reta com as seguintes equações paramétricas:
\(x = 2t + 1\)
\(y = -t + 4\)

Resolução: Devemos isolar \(t\) em uma das equações e substituir na outra. Assim, temos:
Isolando \(t\) na equação (I):
\(x - 1 = 2t\)
\(t = \frac{x - 1}{2}\)
Substituindo \(t\) na equação (II):
\(y = -\left(\frac{x - 1}{2}\right) + 4\)
\(y = \frac{-x + 1}{2} + 4\)
\(y = \frac{-x + 1 + 8}{2}\)
\(y = \frac{-x + 9}{2}\)
\(x + 2y - 9 = 0\) → equação geral da reta

Exercício 6

Determine a equação geral da reta com as seguintes equações paramétricas:
\(x = t + 3\)
\(y = 2t - 2\)

Resolução: Devemos isolar \(t\) em uma das equações e substituir na outra. Assim, temos:
Isolando \(t\) na equação (I):
\(x - 3 = t\)
\(t = x - 3\)
Substituindo \(t\) na equação (II):
\(y = 2(x - 3) - 2\)
\(y = 2x - 6 - 2\)
\(y = 2x - 8\)
\(2x - y - 8 = 0\) → equação geral da reta