1. Determine o décimo termo de uma Progressão Geométrica (PG) em que o primeiro termo é 2 e a razão é 3.
Resolução:
A fórmula geral para encontrar o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ a_{10} = 2 \times 3^{(10-1)} \]
\[ a_{10} = 2 \times 3^9 \]
\[ a_{10} = 2 \times 19683 \]
\[ a_{10} = 39366 \]
Portanto, o décimo termo da PG é 39366.
2. Calcule o valor de \(n\) para que o \(n\)-ésimo termo de uma PG seja 486 e a razão seja 2.
Resolução:
A fórmula geral para encontrar o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ 486 = a_1 \times 2^{(n-1)} \]
Como o primeiro termo \(a_1\) não foi dado, podemos assumir \(a_1 = 1\) para simplificar o cálculo:
\[ 486 = 1 \times 2^{(n-1)} \]
\[ 486 = 2^{(n-1)} \]
Aplicando logaritmo na base 2 em ambos os lados da equação:
\[ \log_2{486} = \log_2{2^{(n-1)}} \]
\[ \log_2{486} = (n-1) \]
Isolando \(n\):
\[ n = \log_2{486} + 1 \]
\[ n \approx 9.895 \]
Portanto, o valor de \(n\) é aproximadamente 9.895.
3. Calcule o primeiro termo de uma PG sabendo que o quarto termo é 64 e a razão é 4.
Resolução:
A fórmula geral para encontrar o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ 64 = a_1 \times 4^{(4-1)} \]
\[ 64 = a_1 \times 4^3 \]
\[ 64 = a_1 \times 64 \]
Para encontrar o primeiro termo \(a_1\), basta dividir ambos os lados da equação por 64:
\[ a_1 = \frac{64}{64} \]
\[ a_1 = 1 \]
Portanto, o primeiro termo da PG é 1.
4. Se a soma dos termos de uma PG infinita é igual a 9 e a razão é 0,5, calcule o primeiro termo.
Resolução:
A soma dos termos de uma PG infinita é dada por:
\[ S = \frac{a_1}{1 - r} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ 9 = \frac{a_1}{1 - 0.5} \]
\[ 9 = \frac{a_1}{0.5} \]
Para encontrar o primeiro termo \(a_1\), basta multiplicar ambos os lados da equação por 0.5:
\[ 0.5 \times 9 = a_1 \]
\[ a_1 = 4.5 \]
Portanto, o primeiro termo da PG é 4.5.
5. Uma PG tem primeiro termo \(a_1 = 3\) e a razão \(r = \frac{1}{3}\). Determine o valor do sexto termo.
Resolução:
A fórmula geral para encontrar o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ a_6 = 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{(6-1)} \]
\[ a_6 = 3 \times \frac{1}{3^5} \]
\[ a_6 = 3 \times \frac{1}{243} \]
\[ a_6 = \frac{3}{243} \]
\[ a_6 = \frac{1}{81} \]
Portanto, o sexto termo da PG é \(\frac{1}{81}\).
6. Determine o décimo termo de uma Progressão Geométrica (PG) em que o primeiro termo é 5 e a razão é 0,5.
Resolução:
A fórmula geral para encontrar o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ a_{10} = 5 \times 0.5^{(10-1)} \]
\[ a_{10} = 5 \times 0.5^9 \]
\[ a_{10} = 5 \times 0.001953125 \]
\[ a_{10} = 0.009765625 \]
Portanto, o décimo termo da PG é aproximadamente 0.009765625.
7. Calcule o valor de \(n\) para que o \(n\)-ésimo termo de uma PG seja 162 e a razão seja 3.
Resolução:
A fórmula geral para encontrar o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ 162 = a_1 \times 3^{(n-1)} \]
\[ 162 = a_1 \times 3^n \]
Como o primeiro termo \(a_1\) não foi dado, podemos assumir \(a_1 = 1\) para simplificar o cálculo:
\[ 162 = 1 \times 3^n \]
Aplicando logaritmo na base 3 em ambos os lados da equação:
\[ \log_3{162} = \log_3{3^n} \]
\[ \log_3{162} = n \]
Isolando \(n\):
\[ n = \log_3{162} \]
\[ n \approx 4.079 \]
Portanto, o valor de \(n\) é aproximadamente 4.079.
8. Calcule o primeiro termo de uma PG sabendo que o quinto termo é 32 e a razão é 2.
Resolução:
A fórmula geral para encontrar o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ 32 = a_1 \times 2^{(5-1)} \]
\[ 32 = a_1 \times 2^4 \]
\[ 32 = a_1 \times 16 \]
Para encontrar o primeiro termo \(a_1\), basta dividir ambos os lados da equação por 16:
\[ \frac{32}{16} = a_1 \]
\[ a_1 = 2 \]
Portanto, o primeiro termo da PG é 2.
9. Se a soma dos termos de uma PG infinita é igual a 12 e a razão é 0,25, calcule o primeiro termo.
Resolução:
A soma dos termos de uma PG infinita é dada por:
\[ S = \frac{a_1}{1 - r} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ 12 = \frac{a_1}{1 - 0.25} \]
\[ 12 = \frac{a_1}{0.75} \]
Para encontrar o primeiro termo \(a_1\), basta multiplicar ambos os lados da equação por 0.75:
\[ 0.75 \times 12 = a_1 \]
\[ a_1 = 9 \]
Portanto, o primeiro termo da PG é 9.
10. Uma PG tem primeiro termo \(a_1 = 6\) e a razão \(r = \frac{1}{4}\). Determine o valor do quarto termo.
Resolução:
A fórmula geral para encontrar o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dada por:
\[ a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \]
Substituindo os valores fornecidos, temos:
\[ a_4 = 6 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{(4-1)} \]
\[ a_4 = 6 \times \frac{1}{4^3} \]
\[ a_4 = 6 \times \frac{1}{64} \]
\[ a_4 = \frac{6}{64} \]
\[ a_4 = \frac{3}{32} \]
Portanto, o quarto termo da PG é \(\frac{3}{32}\).
