Lista de Exercícios Resolvidos sobre Progressões Geométricas

1. Determine o décimo termo de uma Progressão Geométrica (PG) em que o primeiro termo é 2 e a razão é 3.

Resolução:

A fórmula geral para encontrar o $n$-ésimo termo de uma PG é dada por:

$$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$a_{10} = 2 \times 3^{(10-1)}$$

$$a_{10} = 2 \times 3^9$$

$$a_{10} = 2 \times 19683$$

$$a_{10} = 39366$$

Portanto, o décimo termo da PG é 39366.

2. Calcule o valor de $n$ para que o $n$-ésimo termo de uma PG seja 486 e a razão seja 2.

Resolução:

A fórmula geral para encontrar o $n$-ésimo termo de uma PG é dada por:

$$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$486 = a_1 \times 2^{(n-1)}$$

Como o primeiro termo $a_1$ não foi dado, podemos assumir $a_1 = 1$ para simplificar o cálculo:

$$486 = 1 \times 2^{(n-1)}$$

$$486 = 2^{(n-1)}$$

Aplicando logaritmo na base 2 em ambos os lados da equação:

$$\log_2{486} = \log_2{2^{(n-1)}}$$

$$\log_2{486} = (n-1)$$

Isolando $n$:

$$n = \log_2{486} + 1$$

$$n \approx 9.895$$

Portanto, o valor de $n$ é aproximadamente 9.895.

3. Calcule o primeiro termo de uma PG sabendo que o quarto termo é 64 e a razão é 4.

Resolução:

A fórmula geral para encontrar o $n$-ésimo termo de uma PG é dada por:

$$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$64 = a_1 \times 4^{(4-1)}$$

$$64 = a_1 \times 4^3$$

$$64 = a_1 \times 64$$

Para encontrar o primeiro termo $a_1$, basta dividir ambos os lados da equação por 64:

$$a_1 = \frac{64}{64}$$

$$a_1 = 1$$

Portanto, o primeiro termo da PG é 1.

4. Se a soma dos termos de uma PG infinita é igual a 9 e a razão é 0,5, calcule o primeiro termo.

Resolução:

A soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

$$S = \frac{a_1}{1 - r}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$9 = \frac{a_1}{1 - 0.5}$$

$$9 = \frac{a_1}{0.5}$$

Para encontrar o primeiro termo $a_1$, basta multiplicar ambos os lados da equação por 0.5:

$$0.5 \times 9 = a_1$$

$$a_1 = 4.5$$

Portanto, o primeiro termo da PG é 4.5.

5. Uma PG tem primeiro termo $a_1 = 3$ e a razão $r = \frac{1}{3}$. Determine o valor do sexto termo.

Resolução:

A fórmula geral para encontrar o $n$-ésimo termo de uma PG é dada por:

$$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$a_6 = 3 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{(6-1)}$$

$$a_6 = 3 \times \frac{1}{3^5}$$

$$a_6 = 3 \times \frac{1}{243}$$

$$a_6 = \frac{3}{243}$$

$$a_6 = \frac{1}{81}$$

Portanto, o sexto termo da PG é $\frac{1}{81}$.

6. Determine o décimo termo de uma Progressão Geométrica (PG) em que o primeiro termo é 5 e a razão é 0,5.

Resolução:

A fórmula geral para encontrar o $n$-ésimo termo de uma PG é dada por:

$$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$a_{10} = 5 \times 0.5^{(10-1)}$$

$$a_{10} = 5 \times 0.5^9$$

$$a_{10} = 5 \times 0.001953125$$

$$a_{10} = 0.009765625$$

Portanto, o décimo termo da PG é aproximadamente 0.009765625.

7. Calcule o valor de $n$ para que o $n$-ésimo termo de uma PG seja 162 e a razão seja 3.

Resolução:

A fórmula geral para encontrar o $n$-ésimo termo de uma PG é dada por:

$$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$162 = a_1 \times 3^{(n-1)}$$

$$162 = a_1 \times 3^n$$

Como o primeiro termo $a_1$ não foi dado, podemos assumir $a_1 = 1$ para simplificar o cálculo:

$$162 = 1 \times 3^n$$

Aplicando logaritmo na base 3 em ambos os lados da equação:

$$\log_3{162} = \log_3{3^n}$$

$$\log_3{162} = n$$

Isolando $n$:

$$n = \log_3{162}$$

$$n \approx 4.079$$

Portanto, o valor de $n$ é aproximadamente 4.079.

8. Calcule o primeiro termo de uma PG sabendo que o quinto termo é 32 e a razão é 2.

Resolução:

A fórmula geral para encontrar o $n$-ésimo termo de uma PG é dada por:

$$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$32 = a_1 \times 2^{(5-1)}$$

$$32 = a_1 \times 2^4$$

$$32 = a_1 \times 16$$

Para encontrar o primeiro termo $a_1$, basta dividir ambos os lados da equação por 16:

$$\frac{32}{16} = a_1$$

$$a_1 = 2$$

Portanto, o primeiro termo da PG é 2.

9. Se a soma dos termos de uma PG infinita é igual a 12 e a razão é 0,25, calcule o primeiro termo.

Resolução:

A soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

$$S = \frac{a_1}{1 - r}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$12 = \frac{a_1}{1 - 0.25}$$

$$12 = \frac{a_1}{0.75}$$

Para encontrar o primeiro termo $a_1$, basta multiplicar ambos os lados da equação por 0.75:

$$0.75 \times 12 = a_1$$

$$a_1 = 9$$

Portanto, o primeiro termo da PG é 9.

10. Uma PG tem primeiro termo $a_1 = 6$ e a razão $r = \frac{1}{4}$. Determine o valor do quarto termo.

Resolução:

A fórmula geral para encontrar o $n$-ésimo termo de uma PG é dada por:

$$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$$

Substituindo os valores fornecidos, temos:

$$a_4 = 6 \times \left(\frac{1}{4}\right)^{(4-1)}$$

$$a_4 = 6 \times \frac{1}{4^3}$$

$$a_4 = 6 \times \frac{1}{64}$$

$$a_4 = \frac{6}{64}$$

$$a_4 = \frac{3}{32}$$

Portanto, o quarto termo da PG é $\frac{3}{32}$.