Lista de Exercícios Resolvidos- Derivadas Simples

Lista de Exercícios - Derivadas

Resolva as seguintes derivadas:

1. $f(x) = 5x^3$
2. $g(x) = \sqrt{x}$
3. $h(x) = \sin(x)$
4. $k(x) = 3e^x$
5. $m(x) = \ln(x)$

Resolução:

Para cada exercício, use as regras de derivação para calcular a derivada:

1. $f(x) = 5x^3$

Aplicando a regra da potência, a derivada de $x^n$ é $n \cdot x^{n-1}$. Para $f(x) = 5x^3$, temos:

$f'(x) = 3 \cdot 5x^{3-1} = 15x^2$

2. $g(x) = \sqrt{x}$

Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia, a derivada de $\sqrt{x}$ é $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

3. $h(x) = \sin(x)$

A derivada da função seno é o cosseno.

$h'(x) = \cos(x)$

4. $k(x) = 3e^x$

Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia, a derivada de $e^x$ é $e^x$.

$k'(x) = 3e^x$

5. $m(x) = \ln(x)$

A derivada da função logarítmica natural é $\frac{1}{x}$.

$m'(x) = \frac{1}{x}$

Lista de Exercícios - Derivadas

Resolva as seguintes derivadas:

1. $f(x) = 2x^2 + 3x$
2. $g(x) = \frac{1}{x^2}$
3. $h(x) = e^{2x}$
4. $k(x) = \cos(2x)$
5. $m(x) = \ln(3x)$

Resolução:

Para cada exercício, use as regras de derivação para calcular a derivada:

6. $f(x) = 2x^2 + 3x$

Aplicando a regra da potência, a derivada de $x^n$ é $n \cdot x^{n-1}$. Para $f(x) = 2x^2 + 3x$, temos:

$f'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} + 3 \cdot 1x^{1-1}$

$f'(x) = 4x + 3$

7. $g(x) = \frac{1}{x^2}$

Aplicando a regra do quociente, a derivada de $\frac{1}{x^n}$ é $-\frac{n}{x^{n+1}}$.

$g'(x) = -\frac{2}{x^{2+1}}$

$g'(x) = -\frac{2}{x^3}$

8. $h(x) = e^{2x}$

A derivada da função exponencial é $a \cdot e^{ax}$, onde $a$ é a constante multiplicativa.

$h'(x) = 2 \cdot e^{2x}$

9. $k(x) = \cos(2x)$

A derivada da função cosseno é o negativo da função seno, multiplicado pelo coeficiente angular.

$k'(x) = -2 \cdot \sin(2x)$

10. $m(x) = \ln(3x)$

A derivada da função logarítmica natural é $\frac{1}{x}$.

$m'(x) = \frac{1}{3x}$