Lista de Exercícios Resolvidos- Derivadas Simples

Lista de Exercícios - Derivadas

Resolva as seguintes derivadas:

1. \( f(x) = 5x^3 \)
2. \( g(x) = \sqrt{x} \)
3. \( h(x) = \sin(x) \)
4. \( k(x) = 3e^x \)
5. \( m(x) = \ln(x) \)

Resolução:

Para cada exercício, use as regras de derivação para calcular a derivada:

1. \( f(x) = 5x^3 \)

Aplicando a regra da potência, a derivada de \( x^n \) é \( n \cdot x^{n-1} \). Para \( f(x) = 5x^3 \), temos:

\( f'(x) = 3 \cdot 5x^{3-1} = 15x^2 \)

2. \( g(x) = \sqrt{x} \)

Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia, a derivada de \( \sqrt{x} \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

\( g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)

3. \( h(x) = \sin(x) \)

A derivada da função seno é o cosseno.

\( h'(x) = \cos(x) \)

4. \( k(x) = 3e^x \)

Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia, a derivada de \( e^x \) é \( e^x \).

\( k'(x) = 3e^x \)

5. \( m(x) = \ln(x) \)

A derivada da função logarítmica natural é \( \frac{1}{x} \).

\( m'(x) = \frac{1}{x} \)

Lista de Exercícios - Derivadas

Resolva as seguintes derivadas:

1. \( f(x) = 2x^2 + 3x \)
2. \( g(x) = \frac{1}{x^2} \)
3. \( h(x) = e^{2x} \)
4. \( k(x) = \cos(2x) \)
5. \( m(x) = \ln(3x) \)

Resolução:

Para cada exercício, use as regras de derivação para calcular a derivada:

6. \( f(x) = 2x^2 + 3x \)

Aplicando a regra da potência, a derivada de \( x^n \) é \( n \cdot x^{n-1} \). Para \( f(x) = 2x^2 + 3x \), temos:

\( f'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} + 3 \cdot 1x^{1-1} \)

\( f'(x) = 4x + 3 \)

7. \( g(x) = \frac{1}{x^2} \)

Aplicando a regra do quociente, a derivada de \( \frac{1}{x^n} \) é \( -\frac{n}{x^{n+1}} \).

\( g'(x) = -\frac{2}{x^{2+1}} \)

\( g'(x) = -\frac{2}{x^3} \)

8. \( h(x) = e^{2x} \)

A derivada da função exponencial é \( a \cdot e^{ax} \), onde \( a \) é a constante multiplicativa.

\( h'(x) = 2 \cdot e^{2x} \)

9. \( k(x) = \cos(2x) \)

A derivada da função cosseno é o negativo da função seno, multiplicado pelo coeficiente angular.

\( k'(x) = -2 \cdot \sin(2x) \)

10. \( m(x) = \ln(3x) \)

A derivada da função logarítmica natural é \( \frac{1}{x} \).

\( m'(x) = \frac{1}{3x} \)