Exercícios Resolvidos de Fatoração de Frações

Exercícios de Fatoração de Frações

Exercício 1

Fatore a fração $\frac{2x^2 + 6x}{4x^2}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: Fatorando o numerador, temos $2x(x + 3)$. Fatorando o denominador, temos $4x^2 = 2x \cdot 2x$. A fração fica $\frac{2x(x + 3)}{2x \cdot 2x}$.

Passo 2: Simplificar a fração.

Resolução: Podemos simplificar o fator comum $2x$ no numerador e denominador, resultando em $\frac{x + 3}{2x}$.

Exercício 2

Fatore a fração $\frac{a^2 - 9}{a^2 - 4}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão $a^2 - 9$ é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como $(a)^2 - (3)^2$, fatorando-a em $(a + 3)(a - 3)$. A expressão $a^2 - 4$ também é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como $(a)^2 - (2)^2$, fatorando-a em $(a + 2)(a - 2)$. A fração fica $\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a + 2)(a - 2)}$.

Exercício 3

Fatore a fração $\frac{4x^2 - 12x + 9}{2x^2 - 8x + 8}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão $4x^2 - 12x + 9$ é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser fatorado em $(2x - 3)^2$. A expressão $2x^2 - 8x + 8$ também é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser fatorado em $(x - 2)^2 + 4$. A fração fica $\frac{(2x - 3)^2}{(x - 2)^2 + 4}$.

Exercício 4

Fatore a fração $\frac{25x^2 - 49}{x^2 - 9}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão $25x^2 - 49$ é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como $(5x)^2 - (7)^2$, fatorando-a em $(5x + 7)(5x - 7)$. A expressão $x^2 - 9$ também é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como $(x)^2 - (3)^2$, fatorando-a em $(x + 3)(x - 3)$. A fração fica $\frac{(5x + 7)(5x - 7)}{(x + 3)(x - 3)}$.

Exercício 5

Fatore a fração $\frac{4x^3 + 8x^2}{2x^2}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: Fatorando o numerador, temos $4x^2(x + 2)$. Fatorando o denominador, temos $2x^2 = 2x \cdot x$. A fração fica $\frac{4x^2(x + 2)}{2x \cdot x}$.

Passo 2: Simplificar a fração.

Resolução: Podemos simplificar o fator comum $2x$ no numerador e denominador, resultando em $\frac{2(x + 2)}{x}$.

Exercício 6

Fatore a fração $\frac{9x^2 - 25}{3x^2 - 15x}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão $9x^2 - 25$ é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como $(3x)^2 - (5)^2$, fatorando-a em $(3x + 5)(3x - 5)$. A expressão $3x^2 - 15x$ também é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como $(3x)^2 - (3 \cdot 5 \cdot x)$, fatorando-a em $3x(x - 5)$. A fração fica $\frac{(3x + 5)(3x - 5)}{3x(x - 5)}$.

Passo 2: Simplificar a fração.

Resolução: Podemos simplificar o fator comum $3x - 5$ no numerador e denominador, resultando em $\frac{3x + 5}{x}$.

Exercício 7

Fatore a fração $\frac{16x^2 - 49}{4x^2 - 36}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão $16x^2 - 49$ é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como $(4x)^2 - (7)^2$, fatorando-a em $(4x + 7)(4x - 7)$. A expressão $4x^2 - 36$ também é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como $(2x)^2 - (6)^2$, fatorando-a em $(2x + 6)(2x - 6)$. A fração fica $\frac{(4x + 7)(4x - 7)}{(2x + 6)(2x - 6)}$.

Exercício 8

Fatore a fração $\frac{9x^2 - 6x + 1}{3x^2 - 2x}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão $9x^2 - 6x + 1$ é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser fatorado em $(3x - 1)^2$. A expressão $3x^2 - 2x$ também é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser fatorado em $x(3x - 2)$. A fração fica $\frac{(3x - 1)^2}{x(3x - 2)}$.

Exercício 9

Fatore a fração $\frac{6x^3 - 18x^2 + 12x}{3x^2 - 12x}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: Podemos fatorar o numerador em $6x(x - 1)(x - 2)$ e o denominador em $3x(x - 4)$. A fração fica $\frac{6x(x - 1)(x - 2)}{3x(x - 4)}$.

Exercício 10

Fatore a fração $\frac{27x^3 - 64y^3}{9x^2 + 12xy + 16y^2}$

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: Podemos fatorar o numerador em $(3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$ e o denominador em $(3x + 4y)(3x + 4y)$. A fração fica $\frac{(3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)}{(3x + 4y)(3x + 4y)}$.