Exercícios Resolvidos de Fatoração de Frações

Exercícios de Fatoração de Frações

Exercício 1

Fatore a fração \( \frac{2x^2 + 6x}{4x^2} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: Fatorando o numerador, temos \( 2x(x + 3) \). Fatorando o denominador, temos \( 4x^2 = 2x \cdot 2x \). A fração fica \( \frac{2x(x + 3)}{2x \cdot 2x} \).

Passo 2: Simplificar a fração.

Resolução: Podemos simplificar o fator comum \( 2x \) no numerador e denominador, resultando em \( \frac{x + 3}{2x} \).

Exercício 2

Fatore a fração \( \frac{a^2 - 9}{a^2 - 4} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão \(a^2 - 9\) é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como \((a)^2 - (3)^2\), fatorando-a em \((a + 3)(a - 3)\). A expressão \(a^2 - 4\) também é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como \((a)^2 - (2)^2\), fatorando-a em \((a + 2)(a - 2)\). A fração fica \( \frac{(a + 3)(a - 3)}{(a + 2)(a - 2)} \).

Exercício 3

Fatore a fração \( \frac{4x^2 - 12x + 9}{2x^2 - 8x + 8} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão \(4x^2 - 12x + 9\) é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser fatorado em \((2x - 3)^2\). A expressão \(2x^2 - 8x + 8\) também é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser fatorado em \((x - 2)^2 + 4\). A fração fica \( \frac{(2x - 3)^2}{(x - 2)^2 + 4} \).

Exercício 4

Fatore a fração \( \frac{25x^2 - 49}{x^2 - 9} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão \(25x^2 - 49\) é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como \((5x)^2 - (7)^2\), fatorando-a em \((5x + 7)(5x - 7)\). A expressão \(x^2 - 9\) também é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como \((x)^2 - (3)^2\), fatorando-a em \((x + 3)(x - 3)\). A fração fica \( \frac{(5x + 7)(5x - 7)}{(x + 3)(x - 3)} \).

Exercício 5

Fatore a fração \( \frac{4x^3 + 8x^2}{2x^2} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: Fatorando o numerador, temos \( 4x^2(x + 2) \). Fatorando o denominador, temos \( 2x^2 = 2x \cdot x \). A fração fica \( \frac{4x^2(x + 2)}{2x \cdot x} \).

Passo 2: Simplificar a fração.

Resolução: Podemos simplificar o fator comum \( 2x \) no numerador e denominador, resultando em \( \frac{2(x + 2)}{x} \).

Exercício 6

Fatore a fração \( \frac{9x^2 - 25}{3x^2 - 15x} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão \(9x^2 - 25\) é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como \((3x)^2 - (5)^2\), fatorando-a em \((3x + 5)(3x - 5)\). A expressão \(3x^2 - 15x\) também é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como \((3x)^2 - (3 \cdot 5 \cdot x)\), fatorando-a em \(3x(x - 5)\). A fração fica \( \frac{(3x + 5)(3x - 5)}{3x(x - 5)} \).

Passo 2: Simplificar a fração.

Resolução: Podemos simplificar o fator comum \( 3x - 5 \) no numerador e denominador, resultando em \( \frac{3x + 5}{x} \).

Exercício 7

Fatore a fração \( \frac{16x^2 - 49}{4x^2 - 36} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão \(16x^2 - 49\) é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como \((4x)^2 - (7)^2\), fatorando-a em \((4x + 7)(4x - 7)\). A expressão \(4x^2 - 36\) também é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrita como \((2x)^2 - (6)^2\), fatorando-a em \((2x + 6)(2x - 6)\). A fração fica \( \frac{(4x + 7)(4x - 7)}{(2x + 6)(2x - 6)} \).

Exercício 8

Fatore a fração \( \frac{9x^2 - 6x + 1}{3x^2 - 2x} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: A expressão \(9x^2 - 6x + 1\) é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser fatorado em \((3x - 1)^2\). A expressão \(3x^2 - 2x\) também é um trinômio quadrado perfeito, pois pode ser fatorado em \(x(3x - 2)\). A fração fica \( \frac{(3x - 1)^2}{x(3x - 2)} \).

Exercício 9

Fatore a fração \( \frac{6x^3 - 18x^2 + 12x}{3x^2 - 12x} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: Podemos fatorar o numerador em \(6x(x - 1)(x - 2)\) e o denominador em \(3x(x - 4)\). A fração fica \( \frac{6x(x - 1)(x - 2)}{3x(x - 4)} \).

Exercício 10

Fatore a fração \( \frac{27x^3 - 64y^3}{9x^2 + 12xy + 16y^2} \)

Passo 1: Fatorar o numerador e o denominador.

Resolução: Podemos fatorar o numerador em \( (3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2) \) e o denominador em \( (3x + 4y)(3x + 4y) \). A fração fica \( \frac{(3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)}{(3x + 4y)(3x + 4y)} \).