Exercícios Resolvidos sobre Período, Domínio e Imagem de Funções Trigonométricas

1. Determine o período, domínio e imagem da função $f(x) = \sin(x)$.

   Resolução:

   A função seno $\sin(x)$ é periódica, com período $2\pi$. Seu domínio é o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$) e sua imagem é o intervalo fechado de -1 a 1: $[-1, 1]$.

2. Determine o período, domínio e imagem da função $g(x) = \cos(2x)$.

   Resolução:

   A função cosseno $\cos(2x)$ é periódica, com período $\pi$. Seu domínio é o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$) e sua imagem é o intervalo fechado de -1 a 1: $[-1, 1]$.

3. Determine o período, domínio e imagem da função $h(x) = \sin(x) + 2$.

   Resolução:

   A função $\sin(x) + 2$ é obtida pela função seno $\sin(x)$ com um deslocamento vertical de 2 unidades para cima. O período, o domínio e a imagem permanecem os mesmos que a função seno: período $2\pi$, domínio $\mathbb{R}$ e imagem $[-1, 1]$.

4. Determine o período, domínio e imagem da função $k(x) = \cos(3x)$.

   Resolução:

   A função cosseno $\cos(3x)$ é periódica, com período $\frac{2\pi}{3}$. Seu domínio é o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$) e sua imagem é o intervalo fechado de -1 a 1: $[-1, 1]$.

5. Determine o período, domínio e imagem da função $f(x) = 2\cos(x) - 1$.

   Resolução:

   A função $2\cos(x) - 1$ é obtida pela função cosseno $\cos(x)$ com um deslocamento vertical de 1 unidade para baixo e uma amplitude de 2. O período, o domínio e a imagem permanecem os mesmos que a função cosseno: período $2\pi$, domínio $\mathbb{R}$ e imagem $[-1, 1]$.

6. Determine o período, domínio e imagem da função $f(x) = \tan(x)$.

   Resolução:

   A função tangente $\tan(x)$ é periódica, com período $\pi$. Seu domínio é o conjunto dos números reais, exceto os valores $x$ que tornam a função indefinida (quando $x = (2k + 1) \frac{\pi}{2}$, onde $k$ é um inteiro). A imagem é o conjunto de todos os números reais: $\mathbb{R}$.

7. Determine o período, domínio e imagem da função $g(x) = 3\sin(2x)$.

   Resolução:

   A função $3\sin(2x)$ é obtida pela função seno $\sin(2x)$ com uma amplitude de 3. O período é $\pi$, pois o período do seno é $\pi$ e o 2 estica horizontalmente a função, tornando-a mais rápida. O domínio é o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$) e a imagem é o intervalo fechado de -3 a 3: $[-3, 3]$.

8. Determine o período, domínio e imagem da função $h(x) = -2\cos(\frac{x}{3})$.

   Resolução:

   A função $-2\cos(\frac{x}{3})$ é obtida pela função cosseno $\cos(\frac{x}{3})$ com uma amplitude de -2. O período é $6\pi$, pois o período do cosseno é $2\pi$ e o $\frac{1}{3}$ estica horizontalmente a função, tornando-a mais lenta. O domínio é o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$) e a imagem é o intervalo fechado de -2 a 2: $[-2, 2]$.

9. Determine o período, domínio e imagem da função $k(x) = \frac{1}{2}\tan(x)$.

   Resolução:

   A função $\frac{1}{2}\tan(x)$ é obtida pela função tangente $\tan(x)$ com uma amplitude de $\frac{1}{2}$. O período é $\pi$, pois o período do tangente é $\pi$. O domínio é o conjunto dos números reais, exceto os valores $x$ que tornam a função indefinida (quando $x = k\pi$, onde $k$ é um inteiro). A imagem é o conjunto de todos os números reais: $\mathbb{R}$.

10. Determine o período, domínio e imagem da função $f(x) = \frac{1}{3}\cos(\pi x)$.

    Resolução:

    A função $\frac{1}{3}\cos(\pi x)$ é obtida pela função cosseno $\cos(\pi x)$ com uma amplitude de $\frac{1}{3}$. O período é $2$, pois o período do cosseno é $2\pi$ e o $\pi$ estica horizontalmente a função, tornando-a mais lenta. O domínio é o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$) e a imagem é o intervalo fechado de -1/3 a 1/3: $\left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right]$.

11. Determine o período, domínio e imagem da função $g(x) = \sin^2(x)$.

    Resolução:

    A função $\sin^2(x)$ representa o quadrado da função seno. O período, domínio e imagem são os mesmos que a função $\sin(x)$: período $2\pi$, domínio $\mathbb{R}$ e imagem $[0, 1]$.

12. Determine o período, domínio e imagem da função $h(x) = \cos^2(x)$.

    Resolução:

    A função $\cos^2(x)$ representa o quadrado da função cosseno. O período, domínio e imagem são os mesmos que a função $\cos(x)$: período $2\pi$, domínio $\mathbb{R}$ e imagem $[0, 1]$.

13. Determine o período, domínio e imagem da função $k(x) = 2\sin^2(x) - 1$.

    Resolução:

    A função $2\sin^2(x) - 1$ é obtida pelo dobro do quadrado da função seno menos 1. O período, domínio e imagem são os mesmos que a função seno: período $2\pi$, domínio $\mathbb{R}$ e imagem $[-1, 1]$.

14. Determine o período, domínio e imagem da função $f(x) = 3\cos^2(2x)$.

    Resolução:

    A função $3\cos^2(2x)$ é obtida pelo triplo do quadrado da função cosseno com uma amplitude de 3 e um esticamento horizontal de $\frac{\pi}{2}$. O período é $\pi$, pois o período do cosseno é $2\pi$ e o $2$ estica horizontalmente a função, tornando-a mais rápida. O domínio é o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$) e a imagem é o intervalo fechado de 0 a 3: $[0, 3]$.

15. Determine o período, domínio e imagem da função $g(x) = \frac{1}{\sin(x)}$.

    Resolução:

    A função $\frac{1}{\sin(x)}$ é periódica, com período $\pi$. Seu domínio é o conjunto dos números reais, exceto os valores $x$ que tornam a função indefinida (quando $x = k\pi$, onde $k$ é um inteiro). A imagem é o conjunto de todos os números reais, exceto o zero: $\mathbb{R} \backslash \{0\}$.