Exercícios Resolvidos sobre Período, Domínio e Imagem de Funções Trigonométricas

1. Determine o período, domínio e imagem da função \( f(x) = \sin(x) \).

   Resolução:

   A função seno \( \sin(x) \) é periódica, com período \( 2\pi \). Seu domínio é o conjunto dos números reais (\( \mathbb{R} \)) e sua imagem é o intervalo fechado de -1 a 1: \( [-1, 1] \).

2. Determine o período, domínio e imagem da função \( g(x) = \cos(2x) \).

   Resolução:

   A função cosseno \( \cos(2x) \) é periódica, com período \( \pi \). Seu domínio é o conjunto dos números reais (\( \mathbb{R} \)) e sua imagem é o intervalo fechado de -1 a 1: \( [-1, 1] \).

3. Determine o período, domínio e imagem da função \( h(x) = \sin(x) + 2 \).

   Resolução:

   A função \( \sin(x) + 2 \) é obtida pela função seno \( \sin(x) \) com um deslocamento vertical de 2 unidades para cima. O período, o domínio e a imagem permanecem os mesmos que a função seno: período \( 2\pi \), domínio \( \mathbb{R} \) e imagem \( [-1, 1] \).

4. Determine o período, domínio e imagem da função \( k(x) = \cos(3x) \).

   Resolução:

   A função cosseno \( \cos(3x) \) é periódica, com período \( \frac{2\pi}{3} \). Seu domínio é o conjunto dos números reais (\( \mathbb{R} \)) e sua imagem é o intervalo fechado de -1 a 1: \( [-1, 1] \).

5. Determine o período, domínio e imagem da função \( f(x) = 2\cos(x) - 1 \).

   Resolução:

   A função \( 2\cos(x) - 1 \) é obtida pela função cosseno \( \cos(x) \) com um deslocamento vertical de 1 unidade para baixo e uma amplitude de 2. O período, o domínio e a imagem permanecem os mesmos que a função cosseno: período \( 2\pi \), domínio \( \mathbb{R} \) e imagem \( [-1, 1] \).

6. Determine o período, domínio e imagem da função \( f(x) = \tan(x) \).

   Resolução:

   A função tangente \( \tan(x) \) é periódica, com período \( \pi \). Seu domínio é o conjunto dos números reais, exceto os valores \( x \) que tornam a função indefinida (quando \( x = (2k + 1) \frac{\pi}{2} \), onde \( k \) é um inteiro). A imagem é o conjunto de todos os números reais: \( \mathbb{R} \).

7. Determine o período, domínio e imagem da função \( g(x) = 3\sin(2x) \).

   Resolução:

   A função \( 3\sin(2x) \) é obtida pela função seno \( \sin(2x) \) com uma amplitude de 3. O período é \( \pi \), pois o período do seno é \( \pi \) e o 2 estica horizontalmente a função, tornando-a mais rápida. O domínio é o conjunto dos números reais (\( \mathbb{R} \)) e a imagem é o intervalo fechado de -3 a 3: \( [-3, 3] \).

8. Determine o período, domínio e imagem da função \( h(x) = -2\cos(\frac{x}{3}) \).

   Resolução:

   A função \( -2\cos(\frac{x}{3}) \) é obtida pela função cosseno \( \cos(\frac{x}{3}) \) com uma amplitude de -2. O período é \( 6\pi \), pois o período do cosseno é \( 2\pi \) e o \(\frac{1}{3}\) estica horizontalmente a função, tornando-a mais lenta. O domínio é o conjunto dos números reais (\( \mathbb{R} \)) e a imagem é o intervalo fechado de -2 a 2: \( [-2, 2] \).

9. Determine o período, domínio e imagem da função \( k(x) = \frac{1}{2}\tan(x) \).

   Resolução:

   A função \( \frac{1}{2}\tan(x) \) é obtida pela função tangente \( \tan(x) \) com uma amplitude de \( \frac{1}{2} \). O período é \( \pi \), pois o período do tangente é \( \pi \). O domínio é o conjunto dos números reais, exceto os valores \( x \) que tornam a função indefinida (quando \( x = k\pi \), onde \( k \) é um inteiro). A imagem é o conjunto de todos os números reais: \( \mathbb{R} \).

10. Determine o período, domínio e imagem da função \( f(x) = \frac{1}{3}\cos(\pi x) \).

    Resolução:

    A função \( \frac{1}{3}\cos(\pi x) \) é obtida pela função cosseno \( \cos(\pi x) \) com uma amplitude de \( \frac{1}{3} \). O período é \( 2 \), pois o período do cosseno é \( 2\pi \) e o \(\pi\) estica horizontalmente a função, tornando-a mais lenta. O domínio é o conjunto dos números reais (\( \mathbb{R} \)) e a imagem é o intervalo fechado de -1/3 a 1/3: \( \left[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right] \).

11. Determine o período, domínio e imagem da função \( g(x) = \sin^2(x) \).

    Resolução:

    A função \( \sin^2(x) \) representa o quadrado da função seno. O período, domínio e imagem são os mesmos que a função \( \sin(x) \): período \( 2\pi \), domínio \( \mathbb{R} \) e imagem \( [0, 1] \).

12. Determine o período, domínio e imagem da função \( h(x) = \cos^2(x) \).

    Resolução:

    A função \( \cos^2(x) \) representa o quadrado da função cosseno. O período, domínio e imagem são os mesmos que a função \( \cos(x) \): período \( 2\pi \), domínio \( \mathbb{R} \) e imagem \( [0, 1] \).

13. Determine o período, domínio e imagem da função \( k(x) = 2\sin^2(x) - 1 \).

    Resolução:

    A função \( 2\sin^2(x) - 1 \) é obtida pelo dobro do quadrado da função seno menos 1. O período, domínio e imagem são os mesmos que a função seno: período \( 2\pi \), domínio \( \mathbb{R} \) e imagem \( [-1, 1] \).

14. Determine o período, domínio e imagem da função \( f(x) = 3\cos^2(2x) \).

    Resolução:

    A função \( 3\cos^2(2x) \) é obtida pelo triplo do quadrado da função cosseno com uma amplitude de 3 e um esticamento horizontal de \( \frac{\pi}{2} \). O período é \( \pi \), pois o período do cosseno é \( 2\pi \) e o \(2\) estica horizontalmente a função, tornando-a mais rápida. O domínio é o conjunto dos números reais (\( \mathbb{R} \)) e a imagem é o intervalo fechado de 0 a 3: \( [0, 3] \).

15. Determine o período, domínio e imagem da função \( g(x) = \frac{1}{\sin(x)} \).

    Resolução:

    A função \( \frac{1}{\sin(x)} \) é periódica, com período \( \pi \). Seu domínio é o conjunto dos números reais, exceto os valores \( x \) que tornam a função indefinida (quando \( x = k\pi \), onde \( k \) é um inteiro). A imagem é o conjunto de todos os números reais, exceto o zero: \( \mathbb{R} \backslash \{0\} \).