terça-feira, 31 de janeiro de 2012

Crescimento de gotas em nuvens quentes/crescimento por condensação/crescimento por coleção/colisão-coalescência


Crescimento de gotas em nuvens quentes

Em nuvens quentes, as gotas podem crescer por condensação num ambiente supersaturado e por colisão e coalescência com outras gotas de nuvem.

a)Crescimento por condensação

Da equação de Kelvin temos que se a supersaturação é grande o suficiente para ativar uma gota, a gota continuará a crescer. Considere a taxa na qual tal gota cresce por condensação. Considere primeiro uma gota isolada, com raio r num tempo t, num ambiente supersaturado no qual a densidade de vapor d’água numa grande distância da gota é ρv(∞) e a densidade de vapor d’água adjacente à gota é ρv(r).
Assuma que o sistema esteja em equilíbrio, isto é, não há acumulação de vapor d’água no ar ao redor da gota. Então a taxa de aumento na massa da gota no tempo t é igual ao fluxo de vapor d’água através de qualquer superfície esférica de raio R centrado na gota.
Defina o coeficiente de difusão D de vapor d’água no ar como a taxa de fluxo de massa de vapor d’água através de uma área unitária na presença de um gradiente unitário de densidade de vapor d’água. Então a taxa de aumento na massa M da gota é dada por:


onde ρv é a densidade de vapor d’água na distância R(>r) da gota.
Como, sob condições de estado constante, dM/dt é independente de R, a equação pode ser integrada como segue:


Onde ρl é a densidade da água em estado líquido, na última expressão obtemos:







Finalmente, usando a equação dos gases ideais para o vapor d’água






Aqui e(∞) é a pressão de vapor d’água no ar ambiente removido da gota e e(r) é a pressão de vapor adjacente à gota.
Se e não é tão diferente de es, então


Onde S é a supersaturação do ar ambiente (expressa como uma fração ao invés de porcentagem).
Então temos:

É constante para um dado ambiente.
Pode ser percebido que disso, para valores fixos de Gl e a supersaturação S, a taxa de aumento de dr/dt é inversamente proporcional ao raio r da gota.


que pode ser integrado para dar






Assim, o crescimento de gotas por condensação inicialmente aumenta com o raio muito rapidamente mas suas taxas de crescimento diminuem com o tempo (ver figura I).

Figura I. Curvas do crescimento de gotas (a) por condensação da fase de vapor (curva azul) e (b) por coleção de gotas (curva vermelha).

Como a taxa de crescimento de uma gota por condensação é inversamente proporcional ao seu raio, as gotas ativadas mais pequenas crescem mais rápido do que as gotas maiores.
Consequentemente, nesse modelo simplificado, os tamanhos das gotas  na nuvem se tornam uniformemente crescentes com o tempo (isto é, as gotas se aproximam de uma distribuição monodispersa).
Comparações de distribuições de tamanho de gotas de nuvem medidas perto de 100 metros acima da base de nuvens cumulus quentes não precipitando com distribuições de tamanho de gotas calculados assumindo crescimento por condensação em torno de 5 minutos mostraram boa aproximação (ver figura II).




Figura II. Distribuição de tamanhos de gotas de nuvem medidas 244 metros acima da base de uma nuvem cumulus quente (vermelha) e a correspondente distribuição do tamanho de gotas calculado assumindo crescimento por condensação apenas (azul).



Note que as gotas produzidas por condensação durante esse período de tempo somente chegam em torno de 10μm de raio. Além disso, a taxa de aumento no raio de uma gota crescendo por condensação diminui com o tempo. Está claro que o crescimento por condensação sozinho em nuvens quentes é muito lento para produzir gotas de chuva com raios de vários milímetros. No entanto, a chuva se forma em nuvens quentes.
Para uma gota de nuvem de 10μm de raio crescer até uma gota de chuva de 1mm de raio um aumento no volume de um milhão de vezes é necessário. Entretanto, somente em torno de uma gota em um milhão (em torno de 1/litro) numa nuvem tem de crescer por esta quantidade para a nuvem chover.
Os enormes aumentos no tamanho necessários para a nuvem transformar gotas em gotas de chuva é ilustrado pelo diagrama (figura III).

Figura III. Tamanhos relativos de gotas de nuvem e gotas de chuva; r é o raio em micrômetros, n é o número por litro de ar, e v é a velocidade terminal de queda em centímetros por segundo.



(B) Crescimento por Coleção

Em nuvens quentes o crescimento de algumas gotas de tamanhos relativamente pequenos atingidos por condensação para tamanhos de gotas de chuva é atingido pela colisão e coalescência de gotas. Como a velocidade terminal de queda aumenta com o tamanho da gota, gotas maiores têm uma velocidade de queda média maior. Assim elas irão colidir com gotas menores situadas em seus caminhos.

Galileo e a Torre de Pisa

Largando objetos de diferentes massas a partir da inclinação da torre de Pisa, Galileo mostrou que corpos caindo livremente com diferentes massas caem através de uma dada distância no mesmo tempo. Entretanto, isto é verdade somente se a força agindo no corpo devido à gravidade é muito maior do que o arrasto friccional no corpo devido ao ar, e se a densidade do corpo é muito maior do que a densidade do ar.
Considere, o caso mais geral de um corpo de densidade ρ’ e volume V caindo através do ar de densidade ρ.  A força agindo em direção para baixo no corpo devido à gravidade é ρ’Vg. A força de flutuação para cima no corpo, devido à massa de ar deslocada pelo corpo é ρVg (pelo princípio de Arquimedes). Em adição, o ar exerce uma força de arrasto Fdrag no corpo, a qual atua para cima. O corpo irá atingir uma velocidade de queda terminal constante quando estas três forças estiverem em balanço:

ρ’Vg= ρVg+Fdrag

se o corpo é uma esfera de raio r então:


Força de arrasto de Stokes: para esferas com raio ≤ 20μm.




Onde v é a velocidade terminal de queda do corpo e η a viscosidade do ar.
Das equações acima segue:

Se ρ’>>ρ, a qual é para líquidos e objetos sólidos:

A velocidade terminal de queda de 10 e 20μm de de raio de gotas de água no ar em 1013hPa e 20ºC são 0.3 e 1.2cm/s, respectivamente. A velocidade terminal de queda de uma gota d’água com raio 40μm é 4,7cm/s, a qual é em torno 10% menos que dado pela equação acima. Gotas de água de raio 100μm, 1mm e 4mm têm velocidade terminal de queda de 25.6, 403 e 883 cm/s, respectivamente, as quais são muito menores do que dado pela equação acima. Isso porque como a gota aumenta no tamanho ela se torna cada vez mais não esférica e tem uma aumento em sequência. Isto dá origem a uma força de arrasto que é muito maior do que indicado acima.


(C) Colisão e Coalescência


Considere uma única gota de raio r1 que está ultrapassando uma gota menor de raio r2. Como a gota coletora se aproxima da gotícula, essa tenderá a seguir as linhas de corrente ao redor da gota coletora e assim poderá evitar a captura.
A eficiência de colisão E de uma gota de raio r2 com a gota de raio r1 é definida como:

onde y é a distância da linha central para a qual a gota faz uma colisão com a gota maior (ver figura IV).

Figura IV. Movimento relativo de uma gota pequena (azul) com relação à gota coletora (vermelha). y é o parâmetro de impacto máximo para uma gota (raio r2) com uma gota coletora (raio r1).





A seguinte questão é se uma gota é ou não capturada (isto é, se a coalescência ocorre) quando ela colide com uma gota grande.
As gotas podem colidir uma com a outra ou sobre uma superfície plana de água, como ilustrado na figura V.
Isso ocorre quando o ar se torna “preso” entre superfície colidindo, então elas se deformam sem se tocar na verdade. De fato, a gota “rebate num colchão de ar”.

Figura V. Em (a) uma corrente de gotas d’água, em torno 100μm de diâmetro, rebatendo em uma superfície plana de água. Em (b) quando o ângulo entre a corrente de gotas e a superfície da água é aumentada acima de um valor crítico, as gotas coalescem com a água.

A eficiência de coalescência E’ de uma gota de raio r2 com uma gota de raio r1 é definido como a fração de colisões que resultam numa coalescência.
A eficiência de coleção Ec é igual a EE’.
Vamos considerar uma gota coletora de raio r1 que tem uma velocidade teminal v1. Suponhamos que esta gota está caindo no ar ainda através de uma nuvem de gotas de igual tamanho de raio r2 com velocidade terminal v2.
Assumiremo que as gotas estão uniformemente distribuídas no espaço e que elas são coletadas uniformemente à mesma razão por todas gotas coletoras de uma dado tamanho. Isso chama-se modelo de coleção contínua e é ilustrado na figura VI.

Figura VI. Esquema ilustrativo do modelo de coleção contínua para o crscimento de uma gota de nuvem por colisão e coalescência.

A taxa de aumento na massa M da gota grande devido à colisões é dada por:








onde wl é o LWC (em Kg/m3) das gotas de nuvem de raio r2.
Substituindo: 

Onde ρl é a densidade da água líquida, obtemos:

Se v1>>v2 e assumindo que a eficiência de coalescência é unitária, então:

Como v1 e E aumentam ambos conforme r1 aumenta, segue que dr1/dt aumenta com o aumento de r1; isto é, o crescimento de uma gota por coleção é um processo acelerado.

Figura VI. Curvas esquemáticas de crescimento de gotas (a) por condensação da fase de vapor (curva azul) e (b) pela coleção de gotículas (curva vermelha).

Esse comportamento acelerado é ilustrado pela curva vermelha na figura VI, a qual indica crescimento negligenciável por coleção até a gota coletora ter atingido um raio em torno de 20μm.
Pode ser visto da figura que para gotículas pequenas de nuvem o crescimento por condensação é inicialmente dominante mas, após certo raio, o crescimento por coleção domina e rapidamente acelera.
Eventualmente, assim como a gota cresce, v1 se torna maior do que a velocidade de ar ascendente w e a gota começa a cair através do ar ascendente e eventualmente passará através da base da nuvem e pode atingir o chão como gota de chuva.  Fornecido que algumas gotas são grande o suficiente para ser razoavelmente eficientes coletoras (isto é, com raios maiores ou iguais a 20μm), e nuvem é profundo o suficiente e contém água líquida suficiente, gotas de chuva podem  crescer em períodos de tempos razoáveis (~ 1 hora). É claro, nuvens profundas com fortes correntes de ar ascendentes podem produzir chuva mais rápido do que nuvens rasas com correntes de ar ascendentes fracas.