Exercício Resolvidos de Derivadas e Regra da Cadeia.

Exercício de Derivadas e Regra da Cadeia

1. Calcule a derivada da função $f(x) = (2x^2 + 3x)^3$.

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função $f(x)$, utilizamos a regra da cadeia.

Seja $u = 2x^2 + 3x$ e $v = u^3$.

Primeiro, encontramos a derivada de $v$ com relação a $u$:

$\frac{dv}{du} = 3u^2$.

Agora, encontramos a derivada de $u$ com relação a $x$:

$\frac{du}{dx} = 4x + 3$.

Por fim, usando a regra da cadeia, a derivada de $f(x)$ é dada por:

$\frac{df}{dx} = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (4x + 3)$.

Substituindo $u = 2x^2 + 3x$ na expressão acima:

$\frac{df}{dx} = 3(2x^2 + 3x)^2 \cdot (4x + 3)$.

Exercício de Regra da Cadeia

2. Calcule a derivada da função $f(x) = \sin(2x^2 + 3x)$.

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função $f(x)$, utilizamos a regra da cadeia.

Seja $u = 2x^2 + 3x$.

A derivada de $u$ com relação a $x$ é:

$\frac{du}{dx} = 4x + 3$.

Agora, encontramos a derivada de $f(x)$ com relação a $x$ usando a regra da cadeia:

$\frac{df}{dx} = \cos(2x^2 + 3x) \cdot \frac{du}{dx}$.

Substituindo $\frac{du}{dx} = 4x + 3$ na expressão acima:

$\frac{df}{dx} = \cos(2x^2 + 3x) \cdot (4x + 3)$.

Exercício de Regra da Cadeia

3. Calcule a derivada da função $f(x) = e^{2x^3 + 3x^2}$.

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função $f(x)$, utilizamos a regra da cadeia.

Seja $u = 2x^3 + 3x^2$.

A derivada de $u$ com relação a $x$ é:

$\frac{du}{dx} = 6x^2 + 6x$.

Agora, encontramos a derivada de $f(x)$ com relação a $x$ usando a regra da cadeia:

$\frac{df}{dx} = e^{2x^3 + 3x^2} \cdot \frac{du}{dx}$.

Substituindo $\frac{du}{dx} = 6x^2 + 6x$ na expressão acima:

$\frac{df}{dx} = e^{2x^3 + 3x^2} \cdot (6x^2 + 6x)$.

Exercício de Regra da Cadeia

4. Calcule a derivada da função $f(x) = \ln(2x + 1)$.

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função $f(x)$, utilizamos a regra da cadeia.

Seja $u = 2x + 1$.

A derivada de $u$ com relação a $x$ é:

$\frac{du}{dx} = 2$.

Agora, encontramos a derivada de $f(x)$ com relação a $x$ usando a regra da cadeia:

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{2x + 1} \cdot \frac{du}{dx}$.

Substituindo $\frac{du}{dx} = 2$ na expressão acima:

$\frac{df}{dx} = \frac{2}{2x + 1} \cdot$.

Exercício de Regra da Cadeia

5. Calcule a derivada da função $f(x) = \cos(3x^2 - 2x + 1)$.

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função $f(x)$, utilizamos a regra da cadeia.

Seja $u = 3x^2 - 2x + 1$.

A derivada de $u$ com relação a $x$ é:

$\frac{du}{dx} = 6x - 2$.

Agora, encontramos a derivada de $f(x)$ com relação a $x$ usando a regra da cadeia:

$\frac{df}{dx} = -\sin(3x^2 - 2x + 1) \cdot \frac{du}{dx}$.

Substituindo $\frac{du}{dx} = 6x - 2$ na expressão acima:

$\frac{df}{dx} = -\sin(3x^2 - 2x + 1) \cdot (6x - 2)$.

Exercício de Regra da Cadeia

6. Calcule a derivada da função $f(x) = \sqrt{3x + 1}$.

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função $f(x)$, utilizamos a regra da cadeia.

Seja $u = 3x + 1$.

A derivada de $u$ com relação a $x$ é:

$\frac{du}{dx} = 3$.

Agora, encontramos a derivada de $f(x)$ com relação a $x$ usando a regra da cadeia:

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot \frac{du}{dx}$.

Substituindo $\frac{du}{dx} = 3$ na expressão acima:

$\frac{df}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot$.