Exercício Resolvidos de Derivadas e Regra da Cadeia.

Exercício de Derivadas e Regra da Cadeia

1. Calcule a derivada da função \( f(x) = (2x^2 + 3x)^3 \).

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função \( f(x) \), utilizamos a regra da cadeia.

Seja \( u = 2x^2 + 3x \) e \( v = u^3 \).

Primeiro, encontramos a derivada de \( v \) com relação a \( u \):

\( \frac{dv}{du} = 3u^2 \).

Agora, encontramos a derivada de \( u \) com relação a \( x \):

\( \frac{du}{dx} = 4x + 3 \).

Por fim, usando a regra da cadeia, a derivada de \( f(x) \) é dada por:

\( \frac{df}{dx} = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (4x + 3) \).

Substituindo \( u = 2x^2 + 3x \) na expressão acima:

\( \frac{df}{dx} = 3(2x^2 + 3x)^2 \cdot (4x + 3) \).

Exercício de Regra da Cadeia

2. Calcule a derivada da função \( f(x) = \sin(2x^2 + 3x) \).

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função \( f(x) \), utilizamos a regra da cadeia.

Seja \( u = 2x^2 + 3x \).

A derivada de \( u \) com relação a \( x \) é:

\( \frac{du}{dx} = 4x + 3 \).

Agora, encontramos a derivada de \( f(x) \) com relação a \( x \) usando a regra da cadeia:

\( \frac{df}{dx} = \cos(2x^2 + 3x) \cdot \frac{du}{dx} \).

Substituindo \( \frac{du}{dx} = 4x + 3 \) na expressão acima:

\( \frac{df}{dx} = \cos(2x^2 + 3x) \cdot (4x + 3) \).

Exercício de Regra da Cadeia

3. Calcule a derivada da função \( f(x) = e^{2x^3 + 3x^2} \).

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função \( f(x) \), utilizamos a regra da cadeia.

Seja \( u = 2x^3 + 3x^2 \).

A derivada de \( u \) com relação a \( x \) é:

\( \frac{du}{dx} = 6x^2 + 6x \).

Agora, encontramos a derivada de \( f(x) \) com relação a \( x \) usando a regra da cadeia:

\( \frac{df}{dx} = e^{2x^3 + 3x^2} \cdot \frac{du}{dx} \).

Substituindo \( \frac{du}{dx} = 6x^2 + 6x \) na expressão acima:

\( \frac{df}{dx} = e^{2x^3 + 3x^2} \cdot (6x^2 + 6x) \).

Exercício de Regra da Cadeia

4. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(2x + 1) \).

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função \( f(x) \), utilizamos a regra da cadeia.

Seja \( u = 2x + 1 \).

A derivada de \( u \) com relação a \( x \) é:

\( \frac{du}{dx} = 2 \).

Agora, encontramos a derivada de \( f(x) \) com relação a \( x \) usando a regra da cadeia:

\( \frac{df}{dx} = \frac{1}{2x + 1} \cdot \frac{du}{dx} \).

Substituindo \( \frac{du}{dx} = 2 \) na expressão acima:

\( \frac{df}{dx} = \frac{2}{2x + 1} \cdot \).

Exercício de Regra da Cadeia

5. Calcule a derivada da função \( f(x) = \cos(3x^2 - 2x + 1) \).

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função \( f(x) \), utilizamos a regra da cadeia.

Seja \( u = 3x^2 - 2x + 1 \).

A derivada de \( u \) com relação a \( x \) é:

\( \frac{du}{dx} = 6x - 2 \).

Agora, encontramos a derivada de \( f(x) \) com relação a \( x \) usando a regra da cadeia:

\( \frac{df}{dx} = -\sin(3x^2 - 2x + 1) \cdot \frac{du}{dx} \).

Substituindo \( \frac{du}{dx} = 6x - 2 \) na expressão acima:

\( \frac{df}{dx} = -\sin(3x^2 - 2x + 1) \cdot (6x - 2) \).

Exercício de Regra da Cadeia

6. Calcule a derivada da função \( f(x) = \sqrt{3x + 1} \).

Dica: Utilize a regra da cadeia.

Solução:

Para calcular a derivada da função \( f(x) \), utilizamos a regra da cadeia.

Seja \( u = 3x + 1 \).

A derivada de \( u \) com relação a \( x \) é:

\( \frac{du}{dx} = 3 \).

Agora, encontramos a derivada de \( f(x) \) com relação a \( x \) usando a regra da cadeia:

\( \frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot \frac{du}{dx} \).

Substituindo \( \frac{du}{dx} = 3 \) na expressão acima:

\( \frac{df}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot \).