Exercícios Resolvidos sobre Matriz Inversa

Lista de Exercícios - Matriz Inversa

Encontre a matriz inversa para as seguintes matrizes:

1. Matriz A: \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)
2. Matriz B: \( \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \)
3. Matriz C: \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \)
4. Matriz D: \( \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
5. Matriz E: \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \)

Resolução:

A seguir, estão as resoluções passo a passo para cada exercício:

1. Matriz A: \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(A) = 2 \times 4 - 1 \times 3 = 8 - 3 = 5 \]

Como \(\text{det}(A) \neq 0\), a matriz A possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(A)^{-1} = \frac{1}{5} \]

A matriz inversa de A é dada por:

\[ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de A é:

\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \]

2. Matriz B: \( \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(B) = 5 \times (-2) - 0 \times 0 = -10 \]

Como \(\text{det}(B) \neq 0\), a matriz B possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(B)^{-1} = \frac{1}{-10} = -\frac{1}{10} \]

A matriz inversa de B é dada por:

\[ B^{-1} = -\frac{1}{10} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de B é:

\[ B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]

3. Matriz C: \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(C) = 1 \times (1 \times 0 - 4 \times 6) - 2 \times (0 \times 0 - 4 \times 5) + 3 \times (0 \times 6 - 1 \times 5) \]

\[ \text{det}(C) = 1 \times (-24) - 2 \times (-20) + 3 \times (-5) \]

\[ \text{det}(C) = -24 + 40 - 15 = 1 \]

Como \(\text{det}(C) \neq 0\), a matriz C possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(C)^{-1} = \frac{1}{1} = 1 \]

A matriz inversa de C é dada por:

\[ C^{-1} = 1 \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & -6 & 1 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de C é:

\[ C^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & -6 & 1 \end{bmatrix} \]

4. Matriz D: \( \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(D) = 2 \times (3 \times 1 - 4 \times 2) - 1 \times (0 \times 1 - 4 \times 1) + 3 \times (0 \times 2 - 3 \times 1) \]

\[ \text{det}(D) = 2 \times (3 - 8) - 1 \times (0 - 4) + 3 \times (0 - 3) \]

\[ \text{det}(D) = 2 \times (-5) - 1 \times (-4) + 3 \times (-3) \]

\[ \text{det}(D) = -10 + 4 - 9 = -15 \]

Como \(\text{det}(D) \neq 0\), a matriz D possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(D)^{-1} = \frac{1}{-15} = -\frac{1}{15} \]

A matriz inversa de D é dada por:

\[ D^{-1} = -\frac{1}{15} \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -4 & 1 & 4 \\ -3 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de D é:

\[ D^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{1}{15} & \frac{1}{15} \\ \frac{4}{15} & -\frac{1}{15} & -\frac{4}{15} \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{15} & -\frac{2}{15} \end{bmatrix} \]

5. Matriz E: \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(E) = 1 \times 2 - 1 \times 2 = 0 \]

Como \(\text{det}(E) = 0\), a matriz E não possui inversa.

Lista de Exercícios - Matriz Inversa (Continuação)

Encontre a matriz inversa para as seguintes matrizes:

6. Matriz F: \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)
7. Matriz G: \( \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)
8. Matriz H: \( \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)
9. Matriz I: \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix} \)
10. Matriz J: \( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \)

Resolução:

A seguir, estão as resoluções passo a passo para cada exercício:

6. Matriz F: \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(F) = 1 \times (3 \times 0 - 1 \times 1) - 0 \times (0 \times 0 - 1 \times 1) + 2 \times (0 \times 1 - 3 \times 1) \]

\[ \text{det}(F) = 1 \times (0 - 1) - 0 \times (0 - 1) + 2 \times (0 - 3) \]

\[ \text{det}(F) = 1 \times (-1) - 0 \times (-1) + 2 \times (-3) \]

\[ \text{det}(F) = -1 - 0 - 6 = -7 \]

Como \(\text{det}(F) \neq 0\), a matriz F possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(F)^{-1} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7} \]

A matriz inversa de F é dada por:

\[ F^{-1} = -\frac{1}{7} \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 7 & -3 & 1 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de F é:

\[ F^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{3}{7} & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{1}{7} & -\frac{1}{7} & -\frac{1}{7} \\ -1 & \frac{3}{7} & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} \]

7. Matriz G: \( \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(G) = 2 \times (2 \times 2 - 1 \times 1) - 1 \times (1 \times 2 - 1 \times 1) + 1 \times (1 \times 1 - 2 \times 1) \]

\[ \text{det}(G) = 2 \times (4 - 1) - 1 \times (2 - 1) + 1 \times (1 - 2) \]

\[ \text{det}(G) = 2 \times 3 - 1 \times 1 + 1 \times (-1) \]

\[ \text{det}(G) = 6 - 1 - 1 = 4 \]

Como \(\text{det}(G) \neq 0\), a matriz G possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(G)^{-1} = \frac{1}{4} \]

A matriz inversa de G é dada por:

\[ G^{-1} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de G é:

\[ G^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{bmatrix} \]

8. Matriz H: \( \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(H) = 3 \times (2 \times 1 - 0 \times 1) - 0 \times (1 \times 1 - 0 \times 1) + 0 \times (1 \times 1 - 1 \times 2) \]

\[ \text{det}(H) = 3 \times (2 - 0) - 0 \times (1 - 0) + 0 \times (1 - 2) \]

\[ \text{det}(H) = 3 \times 2 - 0 \times 1 + 0 \times (-1) \]

\[ \text{det}(H) = 6 \]

Como \(\text{det}(H) \neq 0\), a matriz H possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(H)^{-1} = \frac{1}{6} \]

A matriz inversa de H é dada por:

\[ H^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 6 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de H é:

\[ H^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & 1 \end{bmatrix} \]

9. Matriz I: \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(I) = 1 \times (2 \times 6 - 3 \times 3) - 1 \times (1 \times 6 - 3 \times 1) + 1 \times (1 \times 3 - 2 \times 1) \]

\[ \text{det}(I) = 1 \times (12 - 9) - 1 \times (6 - 3) + 1 \times (3 - 2) \]

\[ \text{det}(I) = 1 \times 3 - 1 \times 3 + 1 \times 1 \]

\[ \text{det}(I) = 3 - 3 + 1 = 1 \]

Como \(\text{det}(I) \neq 0\), a matriz I possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(I)^{-1} = \frac{1}{1} = 1 \]

A matriz inversa de I é dada por:

\[ I^{-1} = 1 \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de I é:

\[ I^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \]

10. Matriz J: \( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \)

Resolução:

Para encontrar a matriz inversa, devemos verificar se o determinante é diferente de zero:

\[ \text{det}(J) = 1 \times (0 \times 2 - 1 \times 3) - (-1) \times (2 \times 2 - 1 \times (-1)) + 0 \times (2 \times 3 - 0 \times (-1)) \]

\[ \text{det}(J) = 1 \times (0 - 3) + (-1) \times (4 + 1) + 0 \times (6 - 0) \]

\[ \text{det}(J) = 1 \times (-3) - 1 \times 5 + 0 \times 6 \]

\[ \text{det}(J) = -3 - 5 = -8 \]

Como \(\text{det}(J) \neq 0\), a matriz J possui inversa. Agora, vamos calcular a matriz inversa:

Primeiro, calculemos o inverso do determinante:

\[ \text{det}(J)^{-1} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8} \]

A matriz inversa de J é dada por:

\[ J^{-1} = -\frac{1}{8} \begin{bmatrix} 0 & 7 & 1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix} \]

Portanto, a matriz inversa de J é:

\[ J^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -\frac{7}{8} & -\frac{1}{8} \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix} \]