Exercícios Resolvidos sobre Construção de Matrizes

a) Construa uma matriz $2 \times 2$ qualquer.

Resolução:

Uma matriz $2 \times 2$ pode ser escrita como:

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Onde $a$, $b$, $c$ e $d$ são elementos quaisquer.

b) Construa uma matriz $3 \times 3$ que represente os números de 1 a 9.

Resolução:

Uma matriz $3 \times 3$ pode ser escrita como:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

c) Construa uma matriz $2 \times 3$ com números inteiros.

Resolução:

Uma matriz $2 \times 3$ pode ser escrita como:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

Onde $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$ são números inteiros.

d) Construa uma matriz $3 \times 2$ que represente os meses do primeiro trimestre do ano.

Resolução:

Uma matriz $3 \times 2$ pode ser escrita como:

$$\begin{bmatrix} Janeiro & Fevereiro \\ Março & Abril \\ Maio & Junho \end{bmatrix}$$

e) Construa uma matriz $3 \times 3$ com todos os elementos iguais a 5.

Resolução:

Uma matriz $3 \times 3$ com todos os elementos iguais a 5 pode ser escrita como:

$$\begin{bmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \end{bmatrix}$$

f) Construa uma matriz $3 \times 3$ usando a fórmula $a_{ij} = 2i + j$ se $i < j$ e $a_{ij} = 0$ caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de $i$ e $j$ na fórmula:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$

g) Construa uma matriz $4 \times 4$ usando a fórmula $a_{ij} = 2i + j$ se $i < j$ e $a_{ij} = 0$ caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de $i$ e $j$ na fórmula:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \end{bmatrix}$$

h) Construa uma matriz $2 \times 2$ usando a fórmula $a_{ij} = 2i + j$ se $i < j$ e $a_{ij} = 0$ caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de $i$ e $j$ na fórmula:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$

i) Construa uma matriz $5 \times 5$ usando a fórmula $a_{ij} = 2i + j$ se $i < j$ e $a_{ij} = 0$ caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de $i$ e $j$ na fórmula:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \end{bmatrix}$$

j) Construa uma matriz $3 \times 4$ usando a fórmula $a_{ij} = 2i + j$ se $i < j$ e $a_{ij} = 0$ caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de $i$ e $j$ na fórmula:

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

k) Construa uma matriz $2 \times 2$ usando a fórmula $a_{ij} = 3i - 2j$ quando $i < j$ e $a_{ij} = 2i + j$ caso contrário.

Resolução:

Para $i < j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = 3i - 2j$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$$

Para $i \geq j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = 2i + j$:

$$\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}$$

l) Construa uma matriz $3 \times 3$ usando a fórmula $a_{ij} = i^2 + j^2$ quando $i < j$ e $a_{ij} = i \cdot j$ caso contrário.

Resolução:

Para $i < j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = i^2 + j^2$:

$$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 10 \\ 3 & 8 & 17 \\ 4 & 13 & 26 \end{bmatrix}$$

Para $i \geq j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = i \cdot j$:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$$

m) Construa uma matriz $4 \times 4$ usando a fórmula $a_{ij} = i + 2j$ quando $i < j$ e $a_{ij} = i - 2j$ caso contrário.

Resolução:

Para $i < j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = i + 2j$:

$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Para $i \geq j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = i - 2j$:

$$\begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 & -3 \\ 1 & 0 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

n) Construa uma matriz $3 \times 3$ usando a fórmula $a_{ij} = \frac{1}{i+j}$ quando $i < j$ e $a_{ij} = i + j$ caso contrário.

Resolução:

Para $i < j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = \frac{1}{i+j}$:

$$\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Para $i \geq j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = i + j$:

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}$$

o) Construa uma matriz $2 \times 2$ usando a fórmula $a_{ij} = i^2 - j^2$ quando $i < j$ e $a_{ij} = \frac{1}{i+j}$ caso contrário.

Resolução:

Para $i < j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = i^2 - j^2$:

$$\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Para $i \geq j$, substituímos os valores de $i$ e $j$ na fórmula $a_{ij} = \frac{1}{i+j}$:

$$\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}$$