Exercícios Resolvidos sobre Construção de Matrizes

a) Construa uma matriz \(2 \times 2\) qualquer.

Resolução:

Uma matriz \(2 \times 2\) pode ser escrita como:

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

Onde \(a\), \(b\), \(c\) e \(d\) são elementos quaisquer.

b) Construa uma matriz \(3 \times 3\) que represente os números de 1 a 9.

Resolução:

Uma matriz \(3 \times 3\) pode ser escrita como:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]

c) Construa uma matriz \(2 \times 3\) com números inteiros.

Resolução:

Uma matriz \(2 \times 3\) pode ser escrita como:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]

Onde \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) e \(6\) são números inteiros.

d) Construa uma matriz \(3 \times 2\) que represente os meses do primeiro trimestre do ano.

Resolução:

Uma matriz \(3 \times 2\) pode ser escrita como:

\[ \begin{bmatrix} Janeiro & Fevereiro \\ Março & Abril \\ Maio & Junho \end{bmatrix} \]

e) Construa uma matriz \(3 \times 3\) com todos os elementos iguais a 5.

Resolução:

Uma matriz \(3 \times 3\) com todos os elementos iguais a 5 pode ser escrita como:

\[ \begin{bmatrix} 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 \end{bmatrix} \]

f) Construa uma matriz \(3 \times 3\) usando a fórmula \(a_{ij} = 2i + j\) se \(i < j\) e \(a_{ij} = 0\) caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula:

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} \]

g) Construa uma matriz \(4 \times 4\) usando a fórmula \(a_{ij} = 2i + j\) se \(i < j\) e \(a_{ij} = 0\) caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula:

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 \end{bmatrix} \]

h) Construa uma matriz \(2 \times 2\) usando a fórmula \(a_{ij} = 2i + j\) se \(i < j\) e \(a_{ij} = 0\) caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula:

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \]

i) Construa uma matriz \(5 \times 5\) usando a fórmula \(a_{ij} = 2i + j\) se \(i < j\) e \(a_{ij} = 0\) caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula:

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 0 \end{bmatrix} \]

j) Construa uma matriz \(3 \times 4\) usando a fórmula \(a_{ij} = 2i + j\) se \(i < j\) e \(a_{ij} = 0\) caso contrário.

Resolução:

Substituindo os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula:

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

k) Construa uma matriz \(2 \times 2\) usando a fórmula \(a_{ij} = 3i - 2j\) quando \(i < j\) e \(a_{ij} = 2i + j\) caso contrário.

Resolução:

Para \(i < j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = 3i - 2j\):

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \]

Para \(i \geq j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = 2i + j\):

\[ \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} \]

l) Construa uma matriz \(3 \times 3\) usando a fórmula \(a_{ij} = i^2 + j^2\) quando \(i < j\) e \(a_{ij} = i \cdot j\) caso contrário.

Resolução:

Para \(i < j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = i^2 + j^2\):

\[ \begin{bmatrix} 2 & 5 & 10 \\ 3 & 8 & 17 \\ 4 & 13 & 26 \end{bmatrix} \]

Para \(i \geq j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = i \cdot j\):

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} \]

m) Construa uma matriz \(4 \times 4\) usando a fórmula \(a_{ij} = i + 2j\) quando \(i < j\) e \(a_{ij} = i - 2j\) caso contrário.

Resolução:

Para \(i < j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = i + 2j\):

\[ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Para \(i \geq j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = i - 2j\):

\[ \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 & -3 \\ 1 & 0 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

n) Construa uma matriz \(3 \times 3\) usando a fórmula \(a_{ij} = \frac{1}{i+j}\) quando \(i < j\) e \(a_{ij} = i + j\) caso contrário.

Resolução:

Para \(i < j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = \frac{1}{i+j}\):

\[ \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Para \(i \geq j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = i + j\):

\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} \]

o) Construa uma matriz \(2 \times 2\) usando a fórmula \(a_{ij} = i^2 - j^2\) quando \(i < j\) e \(a_{ij} = \frac{1}{i+j}\) caso contrário.

Resolução:

Para \(i < j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = i^2 - j^2\):

\[ \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Para \(i \geq j\), substituímos os valores de \(i\) e \(j\) na fórmula \(a_{ij} = \frac{1}{i+j}\):

\[ \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix} \]