Exercícios resolvidos sobre Juros Compostos com Logaritmos

01) (PUC-SP) Um capital C, aplicado a juros compostos a uma taxa i por período, produz, ao final de n períodos, o montante M, dado por M = C . (1+ i)ⁿ. Nessas condições, utilizando-se Log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o capital de R$ 2.000,00, aplicado a juro composto à taxa de 20%a.a., produzirá o montante R$ 5.000, 00, ao final de um período de:
a) 2 anos     b) 3,5 anos    c) 4 anos    d) 8,5 anos    e) 5 anos

SOLUÇÃO:

C = R$2.000,00     i = 20%a.a = 0,2 a.a.     M = R$ 5.000,00

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02) Em quanto tempo dobra uma população que cresce 2,82%a.a?

A população inicial será chamada de C e portanto devemos achar o tempo para que a população seja 2C.

J = C.(1+i)^t

2C = C.(1+0,0282)^t

2 = (1+0,0282)^t

1,0282^t = 2 (fazendo o logaritimo dos dois lados da equação)

log (1.0282^t) = log 2

t.log (1,0282) = log 2

t = log2/log(1,0282)

t = 24,9 anos

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03) Por quanto tempo deve se aplicar uma certa soma de dinheiro a juros compostos anuais de 20% para que ele dobre ? De acordo com o enunciado do problema o tempo deve ser maior ou menor que três anos ? Justifique.

Veja que montante, em juros compostos, é dado por:

M = C(1+i)n em que "M" é o montante, "C" é o capital, "i" é a taxa de juros e "n" é o tempo.
Observe que, para resolver a sua questão, já temos os seguintes dados para substituir na fórmula do montante acima:

M = 2C (se queremos que o capital dobre, então o montante é igual a 2 vezes o capital).
C = C
i = 0,20 ao ano ( 20% = 20/100 = 0,20)
n = ?
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula do montante acima, temos: 

2C = C(1+0,20)ⁿ

2C = C(1,20)ⁿ

Dividindo ambos os membros por "C", ficamos apenas com:

2 = (1,20)ⁿ    ou    1,20ⁿ = 2 

Aplicando logaritmo (base 10) a ambos os membros, fica: 

log1,20ⁿ = log 2 

Observe que log a^m = m.log a. Então: 

n.log 1,20 = log 2 

Agora veja que (na base 10):

log (1,20) = 0,079181  

log 2  = 0,30103  

Assim, fazendo as devidas substituições, temos: 

n.0,079181 = 0,30103 

n = 3,80 anos

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04) (CESGRANRIO-2008) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) = 6,91; ln(1.159,27) = 7,06 ; ln(1,03) = 0,03) 

M = C (1 + i) ^t

1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)^t

1159,27 = 1000.1,03^t

ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03^t)

7,06 = ln1000 + ln 1,03^t

7,06 = 6,91 + t . ln 1,03

0,15 = t . 0,03

t = 5